Bài tự luận · Bài 19
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 19
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a,SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$. Tính theo $a$ khoảng cách:
a) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
b) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
c) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
a) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
b) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
c) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Kẻ $BH\perp AC$ tại $H$, mà $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp BH$, suy ra $BH\perp(SAC)$. Do đó $d(B,(SAC))=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
b) Kẻ $AM\perp BC$ tại $M$ và $AK\perp SM$ tại $K$ thì $AK\perp(SBC)$, suy ra $d(A,(SBC))=AK$.
Ta có: $\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AM^{2}}=\frac{19}{12a^{2}}$, suy ra $AK=2a\sqrt{\frac{3}{19}}$. Vậy $d(A,(SBC))=2a\sqrt{\frac{3}{19}}$.
c) Dựng hình bình hành $ABCD$ thì $AB\parallel(SCD)$ và mặt phẳng $(SCD)$ chứa $SC$ nên $d(AB,SC)=d(AB,(SCD))$. Mà $d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$, tính tương tự như câu b ta được: $d(A,(SCD))=2a\sqrt{\frac{3}{19}}$. Vậy $d(AB,SC)=2a\sqrt{\frac{3}{19}}$.