Thể tích $V\text{ (cm}^3\text{)}$ và diện tích toàn phần $S\text{ (cm}^2\text{)}$ của một hình lập phương được liên hệ bởi công thức $V = k \cdot S^{1,5}$ ($k$ là hằng số). Biết một hình lập phương có thể tích $V = 5\text{ cm}^3$ và diện tích toàn phần $S = 6\sqrt[3]{25}\text{ cm}^2$. Tính diện tích toàn phần của một hình lập phương có thể tích $V = 3\sqrt{3}\text{ cm}^3$ (đơn vị $\text{cm}^2$).

Lời giải Ta có: $$ k = \frac{V}{S^{1,5}} = \frac{5}{\sqrt{\Big(6\sqrt[3]{25}\Big)^3}} = \frac{5}{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{25}} = \frac{5}{6\sqrt{6} \cdot 5} = \frac{1}{6\sqrt{6}} $$ Từ công thức $V = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot S^{1,5}$, ta có diện tích toàn phần của hình lập phương mới là: $$ S = \Big(6\sqrt{6}V\Big)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\Big(6\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{3}\Big)^2} = \sqrt[3]{\Big(18\sqrt{18}\Big)^2} = 18\text{ (cm}^2\text{)} $$ Vậy diện tích toàn phần của hình lập phương đó là $18\text{ cm}^2$.