(CTST11) Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M$ và $N$ lần lượt cắt $AD$ và $AF$ tại $M'$ và $N'$. Chứng minh:
a) $(ADF)\parallel (BCE)$;
b) $(DEF)\parallel \left( MM'N'N \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $AD\parallel BC\Rightarrow AD\parallel (BCE)$; $AF\parallel BE\Rightarrow AF\parallel (BCE)$.
Ta có $AD\cap AF=A$ và $AD,AF\subset (ADF)$ nên $(ADF)\parallel (BCE)$.
b) Trong tam giác $ADC$, ta có $MM'\parallel CD$, theo định lí Thalès suy ra $\frac{AM'}{AD}=\frac{AM}{AC}$.(1)
Trong tam giác $AFB$, ta có $NN'\parallel AB$, theo định lí Thalès suy ra $\frac{AN'}{AF}=\frac{BN}{BF}$. (2)
Ta có: $AM=BN$ (giả thiết) và $AC=BF$ (vì $ABCD$ và $ABEF$ là các hình vuông). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{AM'}{AD}=\frac{AN'}{AF}$, theo định lí Thalès đảo trong tam giác $ADF$, suy ra $M'N'\parallel DF$. Do đó, $DF\parallel \left( MM'N'N \right)$. (4)
Lại có $NN'\parallel AB$ (giả thiết), suy ra $NN'\parallel EF$, suy ra $EF\parallel \left( MM'N'N \right)$. (5)
Mặt khác, $DF\cap EF=F$ và $DF,EF\subset (DEF)$. (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra $(DEF)\parallel \left( MM'N'N \right)$.
