Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x-1 } { x ^ { 2 } +2 }. $

a) Đúng. Tập xác định của hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ là $ \mathbb{R}. $ b) Đúng. Ta có $ f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { 2 } $ và $ f\left ( { x } \right )=0⇔x-1=0⇔x=1. $ Vậy nên đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại $ x=1 $ và $ y=-\frac { 1 } { 2 } $ hay $ a=1 $ và $ b=-\frac { 1 } { 2 }. $ Tổng $ a+b=\frac { 1 } { 2 }. $ c) Đúng. $ ∀x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈\left ( { 1\,;\,3 } \right ),x_{ 1 } < x_{ 2 } , $ ta có: $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right )=\frac { x_{ 1 } -1 } { x_{ 1 } ^{ 2 }+2 }-\frac { x_{ 2 } -1 } { x_{ 2 } ^{ 2 }+2 }=\frac { \left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+2 } \right )\left ( { x_{ 1 } -1 } \right )-\left ( { x_{ 1 } ^{ 2 }+2 } \right )\left ( { x_{ 2 } -1 } \right ) } { \left ( { x_{ 1 } ^{ 2 }+2 } \right )\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+2 } \right ) } $ $ =\frac { x_{ 2 } ^{ 2 }x_{ 1 } -x_{ 2 } ^{ 2 }+2x_{ 1 } -x_{ 1 } ^{ 2 }x_{ 2 } +x_{ 1 } ^{ 2 }-2x_{ 2 } } { \left ( { x_{ 1 } ^{ 2 }+2 } \right )\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+2 } \right ) }=\frac { x_{ 1 } x_{ 2 } \left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )+\left ( { x_{ 1 } ^{ 2 }-x_{ 2 } ^{ 2 } } \right )+2\left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right ) } { \left ( { x_{ 1 } ^{ 2 }+2 } \right )\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+2 } \right ) }. $ Rõ ràng $ ∀x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈\left ( { 1\,;\,3 } \right ),x_{ 1 } < x_{ 2 } $ thì $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } x_{ 2 } >0 \\ x_{ 1 } -x_{ 2 } < 0 \\ x_{ 1 } ^{ 2 }-x_{ 2 } ^{ 2 } < 0 \\ \left ( { x_{ 1 } ^{ 2 }+2 } \right )\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+2 } \right )>0 \end{array} \right. $ nên $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) < 0. $ Vậy hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ nghịch biến trên khoảng $ \left ( { 1\,;\,3 } \right ). $ d) Sai. Xét $ \frac { x ^ { 2 } +2 } { x-1 }=x-1+\frac { 3 } { x-1 }+2≥2\sqrt[] { 3 }+2,∀x>1. $ Từ đó suy ra $ f\left ( { x } \right )=\frac { x-1 } { x ^ { 2 } +2 }≤\frac { 1 } { 2\sqrt[] { 3 }+2 }=\frac { -1+\sqrt[] { 3 } } { 4 }, $ dấu bằng xảy ra khi: $ x-1=\frac { 3 } { x-1 }⇔\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } =3⇔x=1+\sqrt[] { 3 }. $ Vậy đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại $ x=1+\sqrt[] { 3 } $ chạm tiếp xúc với đường thẳng $ y=\frac { -1+\sqrt[] { 3 } } { 4 } $ nên không phải luôn nằm phía dưới đường thẳng $ y=\frac { -1+\sqrt[] { 3 } } { 4 }. $