Bài tự luận Hai mặt phẳng song song · Bài 14

a) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $AA'\parallel CC'$ và $AA'=CC'$, suy ra tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành. Do đó $AC\parallel A'C'$, mà $A'C'\subset \left( A'C'D \right)$ nên $AC\parallel \left( A'C'D \right)$. Tương tự, tứ giác $A'B'CD$ cũng là hình bình hành nên $B'C\parallel A'D$, mà $A'D\subset \left( A'C'D \right)$ suy ra $B'C\parallel \left( A'C'D \right)$.
Từ đó ta có $\left( ACB' \right)\parallel \left( A'C'D \right)$.
b) Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là giao điểm hai đường chéo của các hình bình hành $ABCD$ và $A'B'C'D'$.
Vì $B'O$ là giao tuyến của $\left( ACB' \right)$ và $\left( BDD'B' \right)$ nên $G_1$ thuộc $B'O$. Tương tự, $G_2$ thuộc $DO'$.
Vì $DD'\parallel BB'$ và $DD'=BB'$ nên $BDD'B'$ là hình bình hành, suy ra $BD\parallel B'D'$
và $BD=B'D'$. Do đó, ta có $\frac{G_1O}{G_1B'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{OB}{BD}=\frac{1}{2}$.
Xét tam giác $AB'C$ có $B'O$ là trung tuyến và $\frac{G_1O}{G_1B'}=\frac{1}{2}$ nên $G_1$ là trọng tâm của tam giác $AB'C$. Chứng minh tương tự, ta cũng có $G_2$ là trọng tâm của tam giác $A'C'D$.
c) Trong mặt phẳng $\left( BDD'B' \right)$, vì $BD\parallel B'D'$ nên $\frac{BG_1}{G_1D'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{BG_1}{BD'}=\frac{1}{3}$. Tương tự, ta cũng có $\frac{D'G_2}{BD'}=\frac{1}{3}$. Từ đó suy ra $BG_1=G_1G_2=G_2D'$.