(CD11) Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Xem lời giải
Lời giải
Trước hết ta chứng minh một kết quả trong hình học phẳng: Trong hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh.
Xét hình bình hành $MNPQ$ (Hình a). Ta có:
$\begin{array}{l} MP^{2}=QM^{2}+QP^{2}-2QM\cdot QP\cos \widehat{MQP} \\ QN^{2}=PQ^{2}+PN^{2}-2PQ\cdot PN\cos \widehat{QPN} \end{array}$
Do $QM=PN$ và $\cos \widehat{MQP}=-\cos \widehat{QPN}$ nên ta có: $MP^{2}+QN^{2}=2\left( QM^{2}+QP^{2} \right)$.
Xét hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (Hình b).
Áp dụng kết quả trên cho hai hình bình hành $AA'C'C$ và $BB'D'D$ ta được:
$AC'^{2}+A'C^{2}=2\left( AA'^{2}+A'C'^{2} \right)$
$BD'^{2}+B'D^{2}=2\left( BB'^{2}+B'D'^{2} \right)$.
Suy ra $AC'^{2}+A'C^{2}+BD'^{2}+B'D^{2}=4AA'^{2}+2\left( A'C'^{2}+B'D'^{2} \right)$ (Do $AA'=BB'$).
Trong hình bình hành $A'B'C'D'$, ta có: $A'C'^{2}+B'D'^{2}=2\left( A'B'^{2}+A'D'^{2} \right)$.
Vậy $AC'^{2}+A'C^{2}+BD'^{2}+B'D^{2}=4AA'^{2}+4A'B'^{2}+4A'D'^{2}$.
