Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $ x $ sản phẩm ($ 1\leq x\leq 500 $) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $ F(x)=x ^ { 3 } -1999x ^ { 2 } +1001000x+250000 $ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $ G(x)=x+1000+\frac { 250000 } { x } $ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Ta xét hàm lợi nhuận nếu doanh nghiệp sản xuất $ x $ sản phẩm ($ 1\leq x\leq 500 $) là: $ f(x)=F(x)-x.G(x)=x ^ { 3 } -1999x ^ { 2 } +1001000x+250000-x\left ( { x+1000+\frac { 250000 } { x } } \right ) $ $ =x ^ { 3 } -2000x ^ { 2 } +1000000x $; $ f'(x)=3x ^ { 2 } -4000x+1000000 $; $ f'(x)=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=\frac { 1000 } { 3 }≈333,33\in \left[ 1;500 \right] \\ x=1000∉\left[ 1;500 \right] \end{array} \right. $. Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $ \left[ 1;500 \right] $ Từ bảng biến thiên, ta có: $ \max_{x\in\left[1;500\right]} f(x) =f\left ( { \frac { 1000 } { 3 } } \right )≈148148148 $. Vì $ x $ là số tự nhiên, nên ta tính thêm hai giá trị của $ x $ liền kề $ \frac { 1000 } { 3 } $: $ f\left ( { 333 } \right )≈148148037;f\left ( { 334 } \right )≈148147704. $ Do đó doanh nghiệp lợi nhuận thu được là lớn nhất khi sản xuất 333 sản phẩm.