Bài tự luận · Bài 10
Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài tự luận Hàm số bậc ba · Bài 10
(CTST12) Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số $y=-x^3-3x^2+mx+1$ có tâm đối xứng nằm trên trục $Ox$? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
Xem lời giải
Lời giải
$y'=-3x^2-6x+m$; $y''=-6x-6$; $y''=0\Leftrightarrow x=-1$.
Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ $y_I=-m-1$.
$I$ nằm trên trục $Ox\Leftrightarrow y_I=0\Leftrightarrow m=-1$.
Khi $m=-1$, hàm số trở thành $y=-x^3-3x^2-x+1$ và $y'=-3x^2-6x-1$.
Phương trình $y'=0$ có $\Delta>0$ nên có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua $I(-1;0)$, nghĩa là tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.
Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ $y_I=-m-1$.
$I$ nằm trên trục $Ox\Leftrightarrow y_I=0\Leftrightarrow m=-1$.
Khi $m=-1$, hàm số trở thành $y=-x^3-3x^2-x+1$ và $y'=-3x^2-6x-1$.
Phương trình $y'=0$ có $\Delta>0$ nên có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua $I(-1;0)$, nghĩa là tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.