Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 18
Tính các tổng sau:
a). $S_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n$
b). $S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}$
c). $S_n=(3+\frac{1}{3})^2+(9+\frac{1}{9})^2+\cdots+(3^n+\frac{1}{3^n})^2$
d). $S_n=6+66+666+\cdots+\underbrace{666\ldots 6}_{n\text{ số }6}$
a). $S_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n$
b). $S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}$
c). $S_n=(3+\frac{1}{3})^2+(9+\frac{1}{9})^2+\cdots+(3^n+\frac{1}{3^n})^2$
d). $S_n=6+66+666+\cdots+\underbrace{666\ldots 6}_{n\text{ số }6}$
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có dãy số $2,2^2,2^3,\cdots,2^n$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=\frac{2^2}{2}=2$. Do đó $S_n=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=2.\frac{1-2^n}{1-2}=2(2^n-1)$.
b). Ta có dãy số $\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots,\frac{1}{2^n}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{\frac{1}{2^2}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$. Do đó $S_n=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$.
c). $S_n=(3+\frac{1}{3})^2+(9+\frac{1}{9})^2+\cdots+(3^n+\frac{1}{3^n})^2$
$=3^2+2+\frac{1}{3^2}+3^4+2+\frac{1}{3^4}+\cdots+3^{2n}+2+\frac{1}{3^{2n}}$
$=(3^2+3^4+\cdots+3^{2n})+(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\cdots+\frac{1}{3^{2n}})+\underbrace{2+2+2+\cdots+2}_{n}$
• Có dãy số $3^2,3^4,\cdots,3^{2n}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=3^2$ và công bội $q=\frac{3^4}{3^2}=9$. Do đó $S_1=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=9.\frac{1-9^n}{1-9}=\frac{9}{8}(9^n-1)$.
• Có dãy số $\frac{1}{3^2},\frac{1}{3^4},\cdots,\frac{1}{3^{2n}}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3^2}$ và công bội $q=\frac{1}{9}$. Do đó $S_1=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{9}.\frac{1-\frac{1}{9^n}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}(1-\frac{1}{9^n})=\frac{9^n-1}{8\cdot 9^n}$.
Vậy $S_n=\frac{9}{8}(9^n-1)+\frac{9^n-1}{8\cdot 9^n}+2n=\frac{(9^n-1)(9^{n+1}+1)}{8\cdot 9^n}+2n$.
d). $S_n=6+66+666+\cdots+\underbrace{666\ldots 6}_{n\text{ số }6}=\frac{6}{9}(9+99+999+\cdots+\underbrace{999\ldots 9}_{n})$
$=\frac{2}{3}[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\cdots+(10^n-1)]$
$=\frac{2}{3}[10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n]=\frac{2}{3}[10.\frac{10^n-1}{10-1}-n]=\frac{20}{27}(10^n-1)-\frac{2n}{3}$
b). Ta có dãy số $\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots,\frac{1}{2^n}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{\frac{1}{2^2}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$. Do đó $S_n=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$.
c). $S_n=(3+\frac{1}{3})^2+(9+\frac{1}{9})^2+\cdots+(3^n+\frac{1}{3^n})^2$
$=3^2+2+\frac{1}{3^2}+3^4+2+\frac{1}{3^4}+\cdots+3^{2n}+2+\frac{1}{3^{2n}}$
$=(3^2+3^4+\cdots+3^{2n})+(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\cdots+\frac{1}{3^{2n}})+\underbrace{2+2+2+\cdots+2}_{n}$
• Có dãy số $3^2,3^4,\cdots,3^{2n}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=3^2$ và công bội $q=\frac{3^4}{3^2}=9$. Do đó $S_1=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=9.\frac{1-9^n}{1-9}=\frac{9}{8}(9^n-1)$.
• Có dãy số $\frac{1}{3^2},\frac{1}{3^4},\cdots,\frac{1}{3^{2n}}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3^2}$ và công bội $q=\frac{1}{9}$. Do đó $S_1=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{9}.\frac{1-\frac{1}{9^n}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}(1-\frac{1}{9^n})=\frac{9^n-1}{8\cdot 9^n}$.
Vậy $S_n=\frac{9}{8}(9^n-1)+\frac{9^n-1}{8\cdot 9^n}+2n=\frac{(9^n-1)(9^{n+1}+1)}{8\cdot 9^n}+2n$.
d). $S_n=6+66+666+\cdots+\underbrace{666\ldots 6}_{n\text{ số }6}=\frac{6}{9}(9+99+999+\cdots+\underbrace{999\ldots 9}_{n})$
$=\frac{2}{3}[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\cdots+(10^n-1)]$
$=\frac{2}{3}[10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n]=\frac{2}{3}[10.\frac{10^n-1}{10-1}-n]=\frac{20}{27}(10^n-1)-\frac{2n}{3}$