(CD 11) Tính:
a) $A=\cos^{2}\frac{\pi}{8}+\cos^{2}\frac{3\pi}{8}+\cos^{2}\frac{5\pi}{8}+\cos^{2}\frac{7\pi}{8}$
b) $B=\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}+\ldots+\sin\frac{9\pi}{5}$ (gồm 9 số hạng);
c) $C=\tan1^{\circ}\cdot \tan2^{\circ}\cdot \tan3^{\circ}\ldots\cdot \tan89^{\circ}$ (gồm 89 thừa số).

Question

Dạng 3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Phương pháp Hai góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$): $\sin(-\alpha )=-\sin\alpha$; $\cos(-\alpha )=\cos\alpha$; $	an(-\alpha )=-	an\alpha$; $\cot(-\alpha )=-\cot\alpha$. Hai góc hơn kém nhau $\pi$ ($\alpha$ và $\alpha +\pi$): $\sin(\alpha +\pi )=-\sin\alpha$; $\cos(\alpha +\pi )=-\cos\alpha$; $	an(\alpha +\pi )=	an\alpha$; $\cot(\alpha +\pi )=\cot\alpha$. Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi -\alpha$): $\sin(\pi -\alpha )=\sin\alpha$; $\cos(\pi -\alpha )=-\cos\alpha$; $	an(\pi -\alpha )=-	an\alpha$; $\cot(\pi -\alpha )=-\cot\alpha$. Hai góc phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi}{2}-\alpha$): $\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha ight)=\cos\alpha$; $\cos\left( \frac{\pi}{2}-\alpha ight)=\sin\alpha$; $	an\left( \frac{\pi}{2}-\alpha ight)=\cot\alpha$; $\cot\left( \frac{\pi}{2}-\alpha ight)=	an\alpha$. (CD 11) Tính: a) $A=\cos^{2}\frac{\pi}{8}+\cos^{2}\frac{3\pi}{8}+\cos^{2}\frac{5\pi}{8}+\cos^{2}\frac{7\pi}{8}$ b) $B=\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}+\ldots+\sin\frac{9\pi}{5}$ (gồm 9 số hạng); c) $C=	an1^{\circ}\cdot 	an2^{\circ}\cdot 	an3^{\circ}\ldots\cdot 	an89^{\circ}$ (gồm 89 thừa số).

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Do $\cos\frac{7\pi}{8}=\cos\left( \pi-\frac{\pi}{8} ight)=-\cos\frac{\pi}{8},\cos\frac{5\pi}{8}=\cos\left( \pi-\frac{3\pi}{8} ight)=-\cos\frac{3\pi}{8}$ nên $\begin{array}{ll} A & =\cos^{2}\frac{\pi}{8}+\cos^{2}\frac{3\pi}{8}+\cos^{2}\frac{5\pi}{8}+\cos^{2}\frac{7\pi}{8}=2\left( \cos^{2}\frac{\pi}{8}+\cos^{2}\frac{3\pi}{8} ight) \ & =2\left[ \cos^{2}\frac{\pi}{8}+\sin^{2}\left( \frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{8} ight) ight]=2\left( \cos^{2}\frac{\pi}{8}+\sin^{2}\frac{\pi}{8} ight)=2 \end{array}$ b) Nhận thấy: $\sin\frac{9\pi}{5}=\sin\left( -\frac{\pi}{5}+2\pi ight)=-\sin\frac{\pi}{5}$ nên $\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{9\pi}{5}=0$. Tương tự ta có: $\sin\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{8\pi}{5}=0,\sin\frac{3\pi}{5}+\sin\frac{7\pi}{5}=0,\sin\frac{4\pi}{5}+\sin\frac{6\pi}{5}=0$. Suy ra $B=\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}+\ldots+\sin\frac{9\pi}{5}=0+\sin\frac{5\pi}{5}=0$. c) $C=	an1^{\circ}\cdot 	an2^{\circ}\cdot 	an3^{\circ}\ldots\cdot 	an89^{\circ}$ $\begin{array}{l} =\left( 	an1^{\circ}\cdot 	an89^{\circ} ight)\left( 	an2^{\circ}\cdot 	an88^{\circ} ight)\ldots\left( 	an44^{\circ}\cdot 	an46^{\circ} ight)	an45^{\circ} \ =\left( 	an1^{\circ}\cdot \cot1^{\circ} ight)\left( 	an2^{\circ}\cdot \cot2^{\circ} ight)\ldots\left( 	an44^{\circ}\cdot \cot44^{\circ} ight)	an45^{\circ}=1. \end{array}$

Bài tự luận Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 42