Bài tự luận · Bài 18
Dạng 2. Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Xem lý thuyết
Bài tự luận Cực trị của hàm số · Bài 18
Chứng minh rằng hàm số $f(x)=\sqrt[3] { x ^{2} }$ không có đạo hàm tại $ x=0$ nhưng có cực tiểu tại điểm $ x=0$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{-} } \frac{f(x)-f(0)}{x}=\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{-} } \frac { \sqrt[3] { x ^{2} } } { x }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{-} } \frac { 1 } { \sqrt[3] { x } }=-\infty$.
Mặt khác, $\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{+} } \frac{f(x)-f(0)}{x}=\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{+} } \frac { \sqrt[3] { x ^{2} } } { x }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{+} } \frac { 1 } { \sqrt[3] { x } }=+\infty$.
Như vậy, hàm số $f(x)=\sqrt[3] { x ^{2} }$ không có đạo hàm tại $ x=0$.
Dễ thấy với mọi $x\neq 0,f(x)>0=f(0)$ nên hàm số $ f(x)$ đạt cực tiểu tại $ x=0$.
Mặt khác, $\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{+} } \frac{f(x)-f(0)}{x}=\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{+} } \frac { \sqrt[3] { x ^{2} } } { x }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 0 ^{+} } \frac { 1 } { \sqrt[3] { x } }=+\infty$.
Như vậy, hàm số $f(x)=\sqrt[3] { x ^{2} }$ không có đạo hàm tại $ x=0$.
Dễ thấy với mọi $x\neq 0,f(x)>0=f(0)$ nên hàm số $ f(x)$ đạt cực tiểu tại $ x=0$.