Bài tự luận · Bài 16
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 16
Giả sử số vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ trên một đoạn đường vào tối thứ Bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc $ X $ với bảng phân bố xác suất như sau:
$ X $ 0 1 2 3 4 5
$ P $ 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 0,05
Tính xác suất để tối thứ Bảy:
a) Xảy ra nhiều nhất 1 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ;
b) Xảy ra ít nhất 3 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ;
c) Xảy ra ít nhất 2 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ.
$ X $ 0 1 2 3 4 5
$ P $ 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 0,05
Tính xác suất để tối thứ Bảy:
a) Xảy ra nhiều nhất 1 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ;
b) Xảy ra ít nhất 3 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ;
c) Xảy ra ít nhất 2 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ A $ là biến cố: "Xảy ra nhiều nhất 1 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy". Khi đó, $ A $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=0\} $ và $ \{X=1\} $. Tức là $ A=\{X=0\}\cup\{X=1\} $.
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: $ P\left ( { A } \right )=P\left ( { X=0 } \right )+P\left ( { X=1 } \right )=0,1+0,2=0,3{ \rm{ } }. $
b) Gọi $ B $ là biến cố: "Xảy ra ít nhất 3 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy";
$ C $ là biến cố: "Xảy ra 4 hoặc 5 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy". Khi đó, $ B $ là hợp của hai biến cố xung khắc: biến cố $ \{X=3\} $ và biến cố $ C $. Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: $ P\left ( { B } \right )=P\left ( { X=3 } \right )+P\left ( { C } \right ) $
Biến cố $ C $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=4\} $ và $ \{X=5\} $. Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: $ P(C)=P(X=4)+P(X=5) $
Do đó $ P(B)=P(X=3)+P(C)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,15+0,05=0,4. $
c) Gọi $ D $ là biến cố: "Xảy ra ít nhất 2 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy". Suy ra $ D $ là biến cố đối của biến cố $ A $. Vậy $ P(D)=1-P(A)=1-0,3=0,7 $.
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: $ P\left ( { A } \right )=P\left ( { X=0 } \right )+P\left ( { X=1 } \right )=0,1+0,2=0,3{ \rm{ } }. $
b) Gọi $ B $ là biến cố: "Xảy ra ít nhất 3 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy";
$ C $ là biến cố: "Xảy ra 4 hoặc 5 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy". Khi đó, $ B $ là hợp của hai biến cố xung khắc: biến cố $ \{X=3\} $ và biến cố $ C $. Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: $ P\left ( { B } \right )=P\left ( { X=3 } \right )+P\left ( { C } \right ) $
Biến cố $ C $ là hợp của hai biến cố xung khắc: $ \{X=4\} $ và $ \{X=5\} $. Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: $ P(C)=P(X=4)+P(X=5) $
Do đó $ P(B)=P(X=3)+P(C)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,15+0,05=0,4. $
c) Gọi $ D $ là biến cố: "Xảy ra ít nhất 2 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ vào tối thứ Bảy". Suy ra $ D $ là biến cố đối của biến cố $ A $. Vậy $ P(D)=1-P(A)=1-0,3=0,7 $.