Bài tập nâng cao · Bài 75
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 75
Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $(\Delta):\frac{x-m}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+m^{2}}{3}$, hai điểm $M(-1;-2;3)$ và $N(2;-1;2)$. Gọi $M',N'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ lên trên $(\Delta)$. Khi $m$ thay đổi, thể tích khối tứ diện $MNN'M'$ có giá trị nhỏ nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
-Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và vuông góc với $(\Delta)$ là: $(P):x-2y+3z-12=0$.
-Mặt phẳng $(Q)$ qua $N$ và vuông góc với $(\Delta)$ là: $(Q):x-2y+3z-10=0$.
Từ đó với $(P)\parallel(Q)$ ta suy ra $M'N'=d((P);(Q))=\frac{2}{\sqrt{14}}$.
Đường thẳng $(\Delta)$ qua $A\left( m;-1;-m^{2} \right)$ có vector chỉ phương $u=(1;-2;3)$
Đường thẳng $(MN)$ có vector chỉ phương $a=(3;1;-1)$. Từ đó ta có được góc giữa $MN$ và $(\Delta)$ là:
$\cos \widehat { (MN;\Delta) }=\frac{\left|u\cdot a\right|}{\left|u\right|\cdot \left|a\right|}=\frac{2}{\sqrt{154}}\Rightarrow \sin \widehat { (MN;\Delta) }=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{77}}$. Từ đó ta suy ra khoảng cách giữa $MN$ và $(\Delta)$ là:
$d=\frac{\left|[\overset\rightarrow { MN };u]\cdot \overset\rightarrow { AM }\right|}{\left|[\overset\rightarrow { MN };u]\right|}=\frac{\left|7m^{2}+m+12\right|}{\sqrt{150}}=\frac{\left|7\left( m+\frac{1}{14} \right)^{2}+\frac{335}{28}\right|}{\sqrt{150}}\geq \frac{335}{28\sqrt{150}}$
Khi đó suy ra: $V_{MNN'M'}=\frac{1}{6}MN\cdot M'N'\cdot d\cdot \sin \widehat { (MN;\Delta) }\geq \frac{1}{6}\cdot \sqrt{11}\cdot \frac{2}{\sqrt{14}}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{77}}\cdot \frac{335}{28\sqrt{150}}=\frac{335}{1176}$.