Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 74

Gọi $A\left( 4-3t;3+4t;0 \right)$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $d$
$\Leftrightarrow OA\perp d\Leftrightarrow \overset\rightarrow { OA }.\overset\rightarrow { u_{d} }=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow A\left( 4;3;0 \right)$.
Trên $Oz$ lấy điểm $P$ sao cho $OP=AN\Rightarrow MP=OM+OP=MN$
và $\Delta AIN=\Delta OIP\Rightarrow IN=IP$
Ta có $\Delta IMP=\Delta IMN$, kẻ $IH\perp MN\Rightarrow IH=IO$$\Rightarrow S_{\Delta IMN}=\frac{1}{2}IH.MN\Rightarrow S_{\Delta IMN}\,min\Leftrightarrow MN_{min}$
Ta có $MN^{2}=MO^{2}+OA^{2}+AN^{2}\geq 2\left( \frac{MO+AN}{2} \right)^{2}+25\Rightarrow MN\geq 5\sqrt{2}$
Vậy $MN_{min}=5\sqrt{2}\Leftrightarrow OM=AN=\frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow M\left( 0;0;\frac{5\sqrt{2}}{2} \right)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( M,d \right)$ là $\left[ \overset\rightarrow { MA },\overset\rightarrow { u_{d} } \right]=\left( 10\sqrt{2};\frac{15}{\sqrt{2}};25 \right)$
Chọn $\overset\rightarrow { n }=\left( 4;3;5\sqrt{2} \right)$.