Bài tập nâng cao · Bài 1
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 1
Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bội của cấp số nhân đó:
a). $u_n=(-3)^{2n+1}$
b). $u_n=(-1)^n\cdot 5^{3n+2}$
c). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=u_n^2 \end{array} \right.$
d). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=\frac{9}{u_n} \end{array} \right.$
a). $u_n=(-3)^{2n+1}$
b). $u_n=(-1)^n\cdot 5^{3n+2}$
c). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=u_n^2 \end{array} \right.$
d). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=\frac{9}{u_n} \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(-3)^{2n+3}}{(-3)^{2n+1}}=(-3)^2=9$ (không đổi). Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=9$.
b). Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 5^{3(n+1)+2}}{(-1)^n\cdot 5^{3n+2}}=-1\cdot 5^3=-125$ (không đổi). Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=-125$.
c). Ta có $u_2=u_1^2=4$, $u_3=u_2^2=16$, $u_4=u_3^2=256$, suy ra $\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{2}=2$ và $\frac{u_4}{u_3}=\frac{256}{16}=16\Rightarrow \frac{u_2}{u_1}\neq \frac{u_4}{u_3}$. Do đó $\left(u_n\right)$ không là cấp số nhân.
d). $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{9}{u_n}}{\frac{9}{u_{n-1}}}=\frac{u_{n-1}}{u_n}\Rightarrow u_{n+1}=u_{n-1},\forall n\geq 2$. Do đó có:
$u_1=u_3=u_5=\ldots=u_{2n+1}\ldots$ (1)
Và $u_2=u_4=u_6=\ldots=u_{2n}=\ldots$ (2)
Theo đề bài có $u_1=3\Rightarrow u_2=\frac{9}{u_1}=3$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $u_1=u_2=u_3=u_4=u_5=\ldots=u_{2n}=u_{2n+1}\ldots$ Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=1$.
b). Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 5^{3(n+1)+2}}{(-1)^n\cdot 5^{3n+2}}=-1\cdot 5^3=-125$ (không đổi). Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=-125$.
c). Ta có $u_2=u_1^2=4$, $u_3=u_2^2=16$, $u_4=u_3^2=256$, suy ra $\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{2}=2$ và $\frac{u_4}{u_3}=\frac{256}{16}=16\Rightarrow \frac{u_2}{u_1}\neq \frac{u_4}{u_3}$. Do đó $\left(u_n\right)$ không là cấp số nhân.
d). $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{9}{u_n}}{\frac{9}{u_{n-1}}}=\frac{u_{n-1}}{u_n}\Rightarrow u_{n+1}=u_{n-1},\forall n\geq 2$. Do đó có:
$u_1=u_3=u_5=\ldots=u_{2n+1}\ldots$ (1)
Và $u_2=u_4=u_6=\ldots=u_{2n}=\ldots$ (2)
Theo đề bài có $u_1=3\Rightarrow u_2=\frac{9}{u_1}=3$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $u_1=u_2=u_3=u_4=u_5=\ldots=u_{2n}=u_{2n+1}\ldots$ Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=1$.