Bài tự luận · Bài 27
Dạng 3. Tìm điểm thuộc đường conic thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 27
(KNTT10) Cho parabol $(P)$ có phương trình là $y^2=16x$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm $F$ của $(P)$ và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng $\Delta$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$, đồng thời tích các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến trục hoành không đổi.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(a;b)$. Vì $\Delta$ đi qua điểm $F(4;0)$ và $\Delta$ không trùng với trục $Ox$ nên ta có $b\ne0$. Phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{\begin{array}{l}x=4+at\\y=bt\end{array}\right.$.
Toạ độ giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ ứng với $t$ thoả mãn phương trình $(bt)^2=16(4+at)\Leftrightarrow b^2t^2-16at-64=0$.
Phương trình (1) có $\Delta'=64a^2+64b^2>0$ (do $b\ne0$), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $\Delta$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$.
Gọi $A(4+at_1;bt_1)$, $B(4+at_2;bt_2)$, trong đó $t_1,t_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Ta có $d(A,Ox)\cdot d(B,Ox)=\frac{|bt_1|}{\sqrt{0^2+1^2}}\cdot\frac{|bt_2|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|b^2t_1t_2|$.
Theo định lí Vi-ét ta có $t_1t_2=\frac{-64}{b^2}$. Từ đó suy ra $d(A,Ox)\cdot d(B,Ox)=\left|b^2\cdot\frac{-64}{b^2}\right|=64$.
Vậy tích các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến trục hoành không đổi.
Lưu ý. Để tìm giao điểm của đường thẳng với các đường conic một cách thuận lợi, ta nên viết phương trình đường thẳng ở dạng tham số.
Toạ độ giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ ứng với $t$ thoả mãn phương trình $(bt)^2=16(4+at)\Leftrightarrow b^2t^2-16at-64=0$.
Phương trình (1) có $\Delta'=64a^2+64b^2>0$ (do $b\ne0$), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $\Delta$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$.
Gọi $A(4+at_1;bt_1)$, $B(4+at_2;bt_2)$, trong đó $t_1,t_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Ta có $d(A,Ox)\cdot d(B,Ox)=\frac{|bt_1|}{\sqrt{0^2+1^2}}\cdot\frac{|bt_2|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|b^2t_1t_2|$.
Theo định lí Vi-ét ta có $t_1t_2=\frac{-64}{b^2}$. Từ đó suy ra $d(A,Ox)\cdot d(B,Ox)=\left|b^2\cdot\frac{-64}{b^2}\right|=64$.
Vậy tích các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến trục hoành không đổi.
Lưu ý. Để tìm giao điểm của đường thẳng với các đường conic một cách thuận lợi, ta nên viết phương trình đường thẳng ở dạng tham số.