Bài tự luận · Bài 26
Dạng 3. Tìm điểm thuộc đường conic thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 26
(KNTT10) Lập phương trình chính tắc của hypebol $(H)$, biết rằng $(H)$ có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$ và $(H)$ đi qua điểm $A(-3;0)$. Tìm điểm $M$ thuộc $(H)$ có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ $M$ đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình chính tắc của $(H)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a,b>0$. Vì $(H)$ đi qua điểm $A(-3;0)$ nên ta có $\frac{(-3)^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow a=3$.
Do $(H)$ có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$ nên ta có $c=5\Rightarrow b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=16$.
Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.
Gọi $M(x_0;y_0)$, điều kiện $x_0>0$. Do $M$ thuộc $(H)$ nên ta có $\frac{x_0^2}{9}-\frac{y_0^2}{16}=1\Rightarrow\frac{x_0^2}{9}=1+\frac{y_0^2}{16}\geq1\Rightarrow x_0^2\geq9$.
Kết hợp với $x_0>0$ ta được $x_0\geq3$.
Từ đó suy ra $OM=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\geq\sqrt{x_0^2}=x_0\geq3$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}y_0=0\\x_0=3\end{array}\right.\Leftrightarrow M(3;0)$.
Vậy $M(3;0)$.
Nhận xét
- Điểm $M$ thuộc nhánh bên phải của $(H)$ (nhánh nằm bên phải trục tung) sao cho khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$ nhỏ nhất chính là giao điểm của nhánh đó với trục $Ox$.
- Một cách tương tự, ta có thể tìm được điểm $N$ thuộc nhánh bên trái của $(H)$ (nhánh nằm bên trái trục tung) sao cho khoảng cách từ $N$ đến gốc toạ độ $O$ nhỏ nhất là giao điểm của nhánh đó với trục $Ox$.
Do $(H)$ có một tiêu điểm là $F_2(5;0)$ nên ta có $c=5\Rightarrow b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=16$.
Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.
Gọi $M(x_0;y_0)$, điều kiện $x_0>0$. Do $M$ thuộc $(H)$ nên ta có $\frac{x_0^2}{9}-\frac{y_0^2}{16}=1\Rightarrow\frac{x_0^2}{9}=1+\frac{y_0^2}{16}\geq1\Rightarrow x_0^2\geq9$.
Kết hợp với $x_0>0$ ta được $x_0\geq3$.
Từ đó suy ra $OM=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\geq\sqrt{x_0^2}=x_0\geq3$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}y_0=0\\x_0=3\end{array}\right.\Leftrightarrow M(3;0)$.
Vậy $M(3;0)$.
Nhận xét
- Điểm $M$ thuộc nhánh bên phải của $(H)$ (nhánh nằm bên phải trục tung) sao cho khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$ nhỏ nhất chính là giao điểm của nhánh đó với trục $Ox$.
- Một cách tương tự, ta có thể tìm được điểm $N$ thuộc nhánh bên trái của $(H)$ (nhánh nằm bên trái trục tung) sao cho khoảng cách từ $N$ đến gốc toạ độ $O$ nhỏ nhất là giao điểm của nhánh đó với trục $Ox$.