Bài tập nâng cao · Bài 80
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 80
Một ngân hàng đề thi có 50 câu hỏi khác nhau, trong đó có 40% câu hỏi ở mức độ nhận biết, 20% câu hỏi ở mức độ thông hiểu, 30% câu hỏi ở mức độ vận dụng và 10% câu hỏi ở mức độ vận dụng cao. Xây dựng 1 đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi khác nhau từ ngân hàng đề thi đó bằng cách sắp xếp ngẫu nhiên các câu hỏi. Tính xác suất để xây dựng được 1 đề thi mà các câu hỏi được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng cao. (chọn giá trị gần đúng nhất)
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết, ta có cấu trúc của đề thi gồm:
+ 20 câu hỏi ở mức độ nhận biết.
+ 10 câu hỏi ở mức độ thông hiểu.
+ 15 câu hỏi ở mức độ vận dụng.
+ 5 câu hỏi ở mức độ vận dụng cao.
Với 50 câu hỏi đã có, trộn ngẫu nhiên để tạo ra 1 đề thi, ta có $50!$ đề được tạo thành.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=50!$
Gọi $A$ là biến cố "xây dựng được một đề thi mà các câu hỏi được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - vận dụng cao"
Trong số đó, có các đề được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng cao nên vị trí các nhóm câu hỏi là cố định, còn các câu hỏi trong cùng 1 nhóm thì có thể hoán vị cho nhau. Vì vậy, ta có được:
$20!$ hoán vị của 20 câu hỏi ở mức độ nhận biết (câu 1 đến câu 20).
$10!$ hoán vị của 10 câu hỏi ở mức độ thông hiểu (câu 21 đến câu 30).
$15!$ hoán vị của 15 câu hỏi ở mức độ vận dụng (câu 31 đến câu 45).
$5!$ hoán vị của 5 câu hỏi ở mức độ vận dụng cao (câu 46 đến câu 50).
Do đó, số đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán gồm: $n(A)=(20!)\cdot(10!)\cdot(15!)\cdot(5!)$
Vậy, xác suất để xây dựng được 1 đề thi thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:
$P(A)=\frac{(20!)\cdot(10!)\cdot(15!)\cdot(5!)}{50!}=4,56\cdot10^{-26}$.
+ 20 câu hỏi ở mức độ nhận biết.
+ 10 câu hỏi ở mức độ thông hiểu.
+ 15 câu hỏi ở mức độ vận dụng.
+ 5 câu hỏi ở mức độ vận dụng cao.
Với 50 câu hỏi đã có, trộn ngẫu nhiên để tạo ra 1 đề thi, ta có $50!$ đề được tạo thành.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=50!$
Gọi $A$ là biến cố "xây dựng được một đề thi mà các câu hỏi được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - vận dụng cao"
Trong số đó, có các đề được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng cao nên vị trí các nhóm câu hỏi là cố định, còn các câu hỏi trong cùng 1 nhóm thì có thể hoán vị cho nhau. Vì vậy, ta có được:
$20!$ hoán vị của 20 câu hỏi ở mức độ nhận biết (câu 1 đến câu 20).
$10!$ hoán vị của 10 câu hỏi ở mức độ thông hiểu (câu 21 đến câu 30).
$15!$ hoán vị của 15 câu hỏi ở mức độ vận dụng (câu 31 đến câu 45).
$5!$ hoán vị của 5 câu hỏi ở mức độ vận dụng cao (câu 46 đến câu 50).
Do đó, số đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán gồm: $n(A)=(20!)\cdot(10!)\cdot(15!)\cdot(5!)$
Vậy, xác suất để xây dựng được 1 đề thi thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:
$P(A)=\frac{(20!)\cdot(10!)\cdot(15!)\cdot(5!)}{50!}=4,56\cdot10^{-26}$.