Số điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta:2x-y+1=0$ để từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn $(T):(x-3)^2+(y+2)^2=5$ sao cho hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc $60^\circ$.

Question

Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến – phương tích Số điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta:2x-y+1=0$ để từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn $(T):(x-3)^2+(y+2)^2=5$ sao cho hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc $60^\circ$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image762.png] Đường tròn $(T)$ có tâm $I(3;-2)$ bán kính $R=\sqrt5$. $M\in\Delta:2x-y+1=0\Rightarrow M(a;2a+1)$. TH1: $\widehat{AMB}=60^\circ\Rightarrow\widehat{AMI}=30^\circ$. Xét tam giác $IAM$ vuông tại $A$ có $IM=\dfrac{R}{\sin30^\circ}=2\sqrt5$. Hay $MI^2=20\Leftrightarrow(a-3)^2+(2a+3)^2=20\Leftrightarrow5a^2+6a-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=\dfrac{-3+\sqrt{19}}5\a=\dfrac{-3-\sqrt{19}}5\end{array}ight.$. Suy ra $M_1\left(\dfrac{-3+\sqrt{19}}5;\dfrac{-1+2\sqrt{19}}5ight), M_2\left(\dfrac{-3-\sqrt{19}}5;\dfrac{-1-2\sqrt{19}}5ight)$ thỏa mãn bài toán. TH2: $\widehat{AMB}=120^\circ\Rightarrow\widehat{AMI}=60^\circ$. Xét tam giác $IAM$ vuông tại $A$ có $IM=\dfrac{R}{\sin60^\circ}=\dfrac{2\sqrt{15}}3$. Hay $MI^2=\dfrac{20}{3}\Leftrightarrow(a-3)^2+(2a+3)^2=\dfrac{20}{3}\Leftrightarrow5a^2+6a-\dfrac{34}{3}=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=\dfrac{-9+\sqrt{591}}{15}\a=\dfrac{-9-\sqrt{591}}{15}\end{array}ight.$. Suy ra $M_3\left(\dfrac{-9+\sqrt{591}}{15};\dfrac{-3+2\sqrt{591}}{15}ight), M_4\left(\dfrac{-9-\sqrt{591}}{15};\dfrac{-3-2\sqrt{591}}{15}ight)$ thỏa mãn bài toán. Vậy có 4 điểm $M$ thỏa mãn bài toán.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 35