Bài tập nâng cao · Bài 36
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến – phương tích
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 36
Cho đường tròn $(C)$ có tâm nằm trên đường thẳng $d:x-6y-10=0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình $d_1:3x+4y+5=0$ và $d_2:4x-3y-5=0$. Biết tung độ của tâm là số không âm, viết phương trình đường tròn $(C)$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì đường tròn $(C)$ có tâm $I$ nằm trên đường thẳng $d:x-6y-10=0$ nên gọi $I(6a+10;a)$, với $a\geq0$.
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với $d_1,d_2$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính $R$ suy ra
$\dfrac{|3(6a+10)+4a+5|}{5}=\dfrac{|4(6a+10)-3a-5|}{5}\Leftrightarrow|22a+35|=|21a+35|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0\ (tm)\\a=-\dfrac{70}{43}\ (ktm)\end{array}\right.$.
Với $a=0$ thì $I(10;0)$ và $R=\dfrac{|3(6a+10)+4a+5|}{5}=7$.
Vậy đường tròn $(C)$ có phương trình là: $(x-10)^2+y^2=49$.
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với $d_1,d_2$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính $R$ suy ra
$\dfrac{|3(6a+10)+4a+5|}{5}=\dfrac{|4(6a+10)-3a-5|}{5}\Leftrightarrow|22a+35|=|21a+35|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0\ (tm)\\a=-\dfrac{70}{43}\ (ktm)\end{array}\right.$.
Với $a=0$ thì $I(10;0)$ và $R=\dfrac{|3(6a+10)+4a+5|}{5}=7$.
Vậy đường tròn $(C)$ có phương trình là: $(x-10)^2+y^2=49$.