Cho $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\alpha \in \Big(-\frac{\pi}{2}; 0\Big)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Lời giải a) **Sai.** Do $\alpha \in \Big(-\frac{\pi}{2}; 0\Big)$ nên $\sin\alpha < 0$. $$ \sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha} = -\sqrt{1 - \Big(\frac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$ b) **Đúng.** Áp dụng công thức cộng ta có: $$ \sin\Big(\alpha + \frac{\pi}{4}\Big) = \sin\alpha \cdot \cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha \cdot \sin\frac{\pi}{4} $$ Do đó: $$ \sin\Big(\alpha + \frac{\pi}{4}\Big) = \Big(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Big) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\Big(1 - \sqrt{2}\Big) = \frac{\sqrt{6}\Big(1 - \sqrt{2}\Big)}{6} $$ c) **Đúng.** Ta có: $$ \cos(2\alpha) - \sin(2\alpha) = \Big(2\cos^{2}\alpha - 1\Big) - 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha $$ Thay số vào ta được: $$ \cos(2\alpha) - \sin(2\alpha) = \Big(2 \cdot \frac{1}{3} - 1\Big) - 2 \cdot \Big(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Big) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3} $$ d) **Đúng.** Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $$ \sin(3\alpha) \cdot \cos\alpha = \frac{1}{2}\Big(\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha)\Big) $$ Suy ra: $$ A = \frac{1}{2}\Big(\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha)\Big) - \frac{1}{2}\sin(4\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) = \sin\alpha \cdot \cos\alpha $$ Do đó: $$ A = \Big(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Big) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{3} $$