Bài tập nâng cao · Bài 4
DẠNG 2. PHÂN TÍCH VÉC-TƠ Sử dụng các tính chất phép toán véc-tơ, ba quy tắc phép toán véc-tơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác.
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 4
Cho tam giác $ABC$, trên cạnh $BC$ lấy $M$ sao cho $BM=3CM$, trên đoạn $AM$ lấy $N$ sao cho $2AN=5MN$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
a) Phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}$ qua các véc-tơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$.
b) Phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{GC};\overrightarrow{MN}$ qua các véc-tơ $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$.
a) Phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}$ qua các véc-tơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$.
b) Phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{GC};\overrightarrow{MN}$ qua các véc-tơ $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo giả thiết $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{7}\overrightarrow{AM}$.
Suy ra:
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
$=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+\frac{5}{7}\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\frac{5}{7}\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{23}{28}\overrightarrow{AB}+\frac{15}{28}\overrightarrow{AC}$.
b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra $\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=-\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}=-\frac{2}{7}\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)$
$=-\frac{1}{14}(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA})-\frac{3}{14}(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA})$
$=-\frac{1}{14}(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA})-\frac{3}{14}(-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA})$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{GB}$.