Bài tập nâng cao · Bài 34
Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$. Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0$) (*) Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in K$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0,\,\forall x\in K$) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào $g'\left( x \right)$ để loại các phương án sai.
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 34
Hàm số $g(x)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-x^{2}+2x+2020$ đồng biến trên khoảng nào?
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow 2f'\left( x-1 \right)-2\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow f'\left( x-1 \right)>x-1\quad \left( * \right)$.
Đặt $t=x-1$, khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f'\left( t \right)>t\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1<t<3 \\ t<-1 \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2<x<4 \\ x<0\quad \text{(loại)} \end{array} \right.$.
+Với $x<1,$ ta có $g\left( x \right)=2f\left( 1-x \right)-\left( 1-x \right)^{2}+2021$ $\Rightarrow g'\left( x \right)=-2f'\left( 1-x \right)+2\left( 1-x \right)$
Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow -2f'\left( 1-x \right)+2\left( 1-x \right)>0\Leftrightarrow f'\left( 1-x \right)<1-x\quad \left( ** \right)$.
Đặt $t=1-x$, khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f'\left( t \right)<t\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -1<t<1 \\ t>3 \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 0<x<2 \\ x<-2 \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 0<x<1 \\ x<-2 \end{array} \right.$.
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$, $\left( 0;1 \right)$, $\left( 2;4 \right)$.