Bài tập nâng cao · Bài 13
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 13
Cho tập hợp $X=\left\{ \begin{array}{l} 6;7;8;9 \end{array} \right\}$. Gọi $E$ là tập hợp các số tự nhiên khác nhau có $2018$ chữ số được lập từ các chữ số của tập $X$. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập $E$. Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$: $4^{n}$
Gọi:
$x_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia hết cho $3$
$y_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia $3$ dư $1$
$z_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia $3$ dư 2
Ta có: $x_{n}+y_{n}+z_{n}=4^{n}$
Ta cũng có: $x_{ n+1 } =2x_{n}+y_{n}+z_{n}$ $\Leftrightarrow$$x_{ n+1 } =x_{n}+4^{n} \Leftrightarrow x_{ n+1 } -x_{n}=4^{n}$
Do đó suy ra: $x_{2018}-x_{2017}=4^{2017} \\ x_{2017}-x_{2016}=4^{2016} \\ \ldots \\ x_{2}-x_{1}=4$
$\Rightarrow x_{2018}-x_{1}=4+4^{2} +4^{3} +\ldots +4^{2017} =\frac{4.\left( 1-4^{2017} \right)}{-3}=\frac{4^{2018} -4}{3}$
Mà $x_{1}=2$ nên $x_{2018}=\frac{4^{2018} +2}{3}$
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{4^{2018} +2}{3}:4^{2018} =\frac{1}{3}\left( 1+\frac{2}{4^{2018} } \right)$
Cách 2:
Xét số được lập theo yêu cầu bài toán có $k$ chữ số $9$ ($0\leq k\leq 2017$)
+ Xếp $k$ chữ số $9$: $C_{2018}^{k}$ cách
+ $2018-k$ vị trí còn lại chọn từ tập $\left\{ \begin{array}{l} 6;7;8 \end{array} \right\}$: $3^{2017-k}$ cách
+ $k=2018$ tương ứng có một số thỏa mãn
$\Rightarrow$ có $1+\sum \limits_{ k=0 } ^ 2017 { C_{2017}^{k}.3^{2017-k} }=\frac{4^{2018} +2}{3}$ số
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{4^{2018} +2}{3}:4^{2018} =\frac{1}{3}\left( 1+\frac{2}{4^{2018} } \right)$
Số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$: $4^{n}$
Gọi:
$x_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia hết cho $3$
$y_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia $3$ dư $1$
$z_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia $3$ dư 2
Ta có: $x_{n}+y_{n}+z_{n}=4^{n}$
Ta cũng có: $x_{ n+1 } =2x_{n}+y_{n}+z_{n}$ $\Leftrightarrow$$x_{ n+1 } =x_{n}+4^{n} \Leftrightarrow x_{ n+1 } -x_{n}=4^{n}$
Do đó suy ra: $x_{2018}-x_{2017}=4^{2017} \\ x_{2017}-x_{2016}=4^{2016} \\ \ldots \\ x_{2}-x_{1}=4$
$\Rightarrow x_{2018}-x_{1}=4+4^{2} +4^{3} +\ldots +4^{2017} =\frac{4.\left( 1-4^{2017} \right)}{-3}=\frac{4^{2018} -4}{3}$
Mà $x_{1}=2$ nên $x_{2018}=\frac{4^{2018} +2}{3}$
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{4^{2018} +2}{3}:4^{2018} =\frac{1}{3}\left( 1+\frac{2}{4^{2018} } \right)$
Cách 2:
Xét số được lập theo yêu cầu bài toán có $k$ chữ số $9$ ($0\leq k\leq 2017$)
+ Xếp $k$ chữ số $9$: $C_{2018}^{k}$ cách
+ $2018-k$ vị trí còn lại chọn từ tập $\left\{ \begin{array}{l} 6;7;8 \end{array} \right\}$: $3^{2017-k}$ cách
+ $k=2018$ tương ứng có một số thỏa mãn
$\Rightarrow$ có $1+\sum \limits_{ k=0 } ^ 2017 { C_{2017}^{k}.3^{2017-k} }=\frac{4^{2018} +2}{3}$ số
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{4^{2018} +2}{3}:4^{2018} =\frac{1}{3}\left( 1+\frac{2}{4^{2018} } \right)$