Bài tập nâng cao · Bài 1
Dạng 1. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 1
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2018) Biết đồ thị hàm số $ y=x ^ { 3 } -3x+1 $ có hai điểm cực trị $ A $, $ B $. Viết phương trình đường thẳng $ AB $
Xem lời giải
Lời giải
Thực hiện phép chia $ y $ cho $ y' $ ta được: $ y=y'.\left ( { \frac { 1 } { 3 }x } \right )+\left ( { -2x+1 } \right ) $.
Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là: $ A\left ( { x_{ 1 } ;y_{ 1 } } \right ) $ và $ B\left ( { x_{ 2 } ;y_{ 2 } } \right ) $.
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} y_{ 1 } =y\left ( { x_{ 1 } } \right )=y'\left ( { x_{ 1 } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 3 }x_{ 1 } } \right )+\left ( { -2x_{ 1 } +1 } \right )=-2x_{ 1 } +1 \\ y_{ 2 } =y\left ( { x_{ 2 } } \right )=y'\left ( { x_{ 2 } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 3 }x_{ 2 } } \right )+\left ( { -2x_{ 2 } +1 } \right )=-2x_{ 2 } +1 \end{array} \right. $.
Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị $ A $ và $ B $ thoả mãn phương trình $ y=-2x+1 $.
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: $ y=-2x+1 $.
Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là: $ A\left ( { x_{ 1 } ;y_{ 1 } } \right ) $ và $ B\left ( { x_{ 2 } ;y_{ 2 } } \right ) $.
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} y_{ 1 } =y\left ( { x_{ 1 } } \right )=y'\left ( { x_{ 1 } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 3 }x_{ 1 } } \right )+\left ( { -2x_{ 1 } +1 } \right )=-2x_{ 1 } +1 \\ y_{ 2 } =y\left ( { x_{ 2 } } \right )=y'\left ( { x_{ 2 } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 3 }x_{ 2 } } \right )+\left ( { -2x_{ 2 } +1 } \right )=-2x_{ 2 } +1 \end{array} \right. $.
Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị $ A $ và $ B $ thoả mãn phương trình $ y=-2x+1 $.
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: $ y=-2x+1 $.