Bài tự luận · Bài 31
DẠNG 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 31
(CTST10) Cho đường thẳng $ d $ có phương trình $ 4x+2y+1=0 $. Xét vị trí tương đối của $ d $ với mỗi đường thẳng sau:
a) $ \Delta _{ 1 } :x-2y+4=0 $
b) $ \Delta _{ 2 } :2x+y-9=0 $
c) $ \Delta _{ 3 } :\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 4 }-t \\ y=2t \\ \end{array} \end{array} \right. $
a) $ \Delta _{ 1 } :x-2y+4=0 $
b) $ \Delta _{ 2 } :2x+y-9=0 $
c) $ \Delta _{ 3 } :\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 4 }-t \\ y=2t \\ \end{array} \end{array} \right. $
Xem lời giải
Lời giải
a) $ d $ và $ \Delta _{ 1 } $ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $ n_{ 1 } =(4;2) $ và $ n_{ 2 } =(1;-2) $.
Ta có: $ a_{ 1 } b_{ 2 } -a_{ 2 } b_{ 1 } =4\cdot (-2)-2\cdot 1=-10\neq 0 $, suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 2 } $ là hai vectơ không cùng phương. Vậy $ d $ và $ \Delta _{ 1 } $ cắt nhau tại một điểm $ M $.
Giải hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4x+2y+1=0 \\ x-2y+4=0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ ta được $ M\left ( { -1;\frac { 3 } { 2 } } \right ) $.
b) $ d $ và $ \Delta _{ 2 } $ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $ n_{ 1 } =(4;2) $ và $ n_{ 2 } =(2;1) $.
Ta có $ \frac { 4 } { 2 }=\frac { 2 } { 1 } $ suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 2 } $ là hai vectơ cùng phương. Vậy $ d $ và $ \Delta _{ 2 } $ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm $ N\left ( { 0;-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $ thuộc $ d $, thay toạ độ của $ N $ vào phương trình $ \Delta _{ 2 } $, ta được $ 2\cdot 0-\frac { 1 } { 2 }-9\neq 0 $, suy ra $ N $ không thuộc $ \Delta _{ 2 } $. Vậy $ d\parallel \Delta _{ 2 } $.
c) Ta có $ \Delta _{ 3 } $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 4 }-t \\ y=2t \\ \end{array} \end{array} \right. $
Suy ra: phương trình tổng quát của $ \Delta _{ 3 } :2x+y+\frac { 1 } { 2 }=0 $.
$ d $ và $ \Delta _{ 3 } $ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $ n_{ 1 } =(4;2) $ và $ n_{ 2 } =(2;1) $. Ta có $ \frac { 4 } { 2 }=\frac { 2 } { 1 } $ suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 2 } $ là hai vectơ cùng phương. Vậy $ d $ và $ \Delta _{ 3 } $ song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm $ P\left ( { -\frac { 1 } { 4 };0 } \right ) $ thuộc $ d $, thay toạ độ của $ P $ vào phương trình tổng quát của $ \Delta _{ 3 } $, ta được $ 2\left ( { -\frac { 1 } { 4 } } \right )+0+\frac { 1 } { 2 }=0 $, suy ra $ P $ thuộc $ \Delta _{ 3 } $. Vậy $ d\equiv \Delta _{ 3 } $.
Ta có: $ a_{ 1 } b_{ 2 } -a_{ 2 } b_{ 1 } =4\cdot (-2)-2\cdot 1=-10\neq 0 $, suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 2 } $ là hai vectơ không cùng phương. Vậy $ d $ và $ \Delta _{ 1 } $ cắt nhau tại một điểm $ M $.
Giải hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4x+2y+1=0 \\ x-2y+4=0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ ta được $ M\left ( { -1;\frac { 3 } { 2 } } \right ) $.
b) $ d $ và $ \Delta _{ 2 } $ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $ n_{ 1 } =(4;2) $ và $ n_{ 2 } =(2;1) $.
Ta có $ \frac { 4 } { 2 }=\frac { 2 } { 1 } $ suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 2 } $ là hai vectơ cùng phương. Vậy $ d $ và $ \Delta _{ 2 } $ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm $ N\left ( { 0;-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $ thuộc $ d $, thay toạ độ của $ N $ vào phương trình $ \Delta _{ 2 } $, ta được $ 2\cdot 0-\frac { 1 } { 2 }-9\neq 0 $, suy ra $ N $ không thuộc $ \Delta _{ 2 } $. Vậy $ d\parallel \Delta _{ 2 } $.
c) Ta có $ \Delta _{ 3 } $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 4 }-t \\ y=2t \\ \end{array} \end{array} \right. $
Suy ra: phương trình tổng quát của $ \Delta _{ 3 } :2x+y+\frac { 1 } { 2 }=0 $.
$ d $ và $ \Delta _{ 3 } $ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $ n_{ 1 } =(4;2) $ và $ n_{ 2 } =(2;1) $. Ta có $ \frac { 4 } { 2 }=\frac { 2 } { 1 } $ suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 2 } $ là hai vectơ cùng phương. Vậy $ d $ và $ \Delta _{ 3 } $ song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm $ P\left ( { -\frac { 1 } { 4 };0 } \right ) $ thuộc $ d $, thay toạ độ của $ P $ vào phương trình tổng quát của $ \Delta _{ 3 } $, ta được $ 2\left ( { -\frac { 1 } { 4 } } \right )+0+\frac { 1 } { 2 }=0 $, suy ra $ P $ thuộc $ \Delta _{ 3 } $. Vậy $ d\equiv \Delta _{ 3 } $.