Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 29
(CD11) Mực nước cao nhất tại một cảng biển là $ 16m $ khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là $ 10m $. Đồ thị ở Hình $ 15 $ mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm.
Biết chiều cao của mực nước $ h(m) $ theo thời gian $ t(h)(0\leq t\leq 24) $ được cho bởi công thức $ h=m+a\cos\left( \frac{\pi}{12}t \right) $ với $ m,a $ là các số thực dương cho trước.
a) Tìm $ m,a $.
b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là $ 11,5m $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Chiều cao của mực nước cao nhất là $ m+a $ khi $ \cos\left( \frac{\pi}{12}t \right)=1 $ và thấp nhất bằng $ m-a $ khi $ \cos\left( \frac{\pi}{12}t \right)=-1 $. Theo giả thiết, ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} m+a=16 \\ m-a=10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=13 \\ a=3. \end{array} \right. $
b) Từ câu a ta có công thức: $ h=13+3\cos\left( \frac{\pi}{12}t \right) $. Do chiều cao của mực nước là $ 11,5m $ nên $ 13+3\cos\left( \frac{\pi}{12}t \right)=11,5\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi}{12}t \right)=-\frac{1}{2} $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi}{12}t=\frac{2\pi}{3}+k2\pi \\ \frac{\pi}{12}t=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=8+24k \\ t=-8+24k \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
Ứng với hai thời điểm trong ngày ta có $ t=8 $ (h) và $ t=16 $ (h).
