Bài tập nâng cao · Bài 13
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 13
Cho tập hợp $X=\left\{ \begin{array}{l} 6;7;8;9 \end{array} \right\}$. Gọi $E$ là tập hợp các số tự nhiên khác nhau có $2018$ chữ số được lập từ các chữ số của tập $X$. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập $E$. Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$: $4 ^{n}$ Gọi: $x_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia hết cho $3$ $y_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia $3$ dư $1$ $z_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đoc chia $3$ dư 2
Ta có: $x_{n} +y_{n} +z_{n} =4 ^{n}$ Ta cũng có: $x_{n+1} =2x_{n} +y_{n} +z_{n}$ $\Leftrightarrow$ $x_{n+1} =x_{n} +4 ^{n} \Leftrightarrow x_{n+1} -x_{n} =4 ^{n}$ Dó đó suy ra: $x_{2018} -x_{2017} =4 ^{2017} \\ x_{2017} -x_{2016} =4 ^{2016} \\ \ldots \\ x_{2} -x_{1} =4$ $\Rightarrow x_{2018} -x_{1} =4+4 ^{2} +4 ^{3} +\ldots+4 ^{2017} =\frac { 4.\left( { 1-4 ^{2017} } \right) } { -3 }=\frac { 4 ^{2018} -4 } { 3 }$ Mà $x_{1} =2$ nên $x_{2018} =\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }$ Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }:4 ^{2018} =\frac{1}{3}\left( { 1+\frac { 2 } { 4 ^{2018} } } \right)$ Cách 2:
Xét số được lập theo yêu cầu bài toán có $k$ chữ số $9$ ( $0\leq k\leq 2017$ )
+ Xếp $k$ chữ số $9$: $C_{2018} ^{k}$ cách
+ $2018-k$ vị trí còn lại chọn từ tập $\left\{ \begin{array}{l} 6;7;8 \end{array} \right\}$: $3 ^{2017-k}$ cách
+ $k=2018$ tương ứng có một số thõa mãn $\Rightarrow$ có $1+\sum \limits_{k=0} ^ 2017 { C_{2017} ^{k}.3 ^{2017-k} }=\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }$ số
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }:4 ^{2018} =\frac{1}{3}\left( { 1+\frac { 2 } { 4 ^{2018} } } \right)$
Số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$: $4 ^{n}$ Gọi: $x_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia hết cho $3$ $y_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đó chia $3$ dư $1$ $z_{n}$ là số các số có $n$ chữ số được lập từ các chữ số của tập hợp $X$ mà các số đoc chia $3$ dư 2
Ta có: $x_{n} +y_{n} +z_{n} =4 ^{n}$ Ta cũng có: $x_{n+1} =2x_{n} +y_{n} +z_{n}$ $\Leftrightarrow$ $x_{n+1} =x_{n} +4 ^{n} \Leftrightarrow x_{n+1} -x_{n} =4 ^{n}$ Dó đó suy ra: $x_{2018} -x_{2017} =4 ^{2017} \\ x_{2017} -x_{2016} =4 ^{2016} \\ \ldots \\ x_{2} -x_{1} =4$ $\Rightarrow x_{2018} -x_{1} =4+4 ^{2} +4 ^{3} +\ldots+4 ^{2017} =\frac { 4.\left( { 1-4 ^{2017} } \right) } { -3 }=\frac { 4 ^{2018} -4 } { 3 }$ Mà $x_{1} =2$ nên $x_{2018} =\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }$ Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }:4 ^{2018} =\frac{1}{3}\left( { 1+\frac { 2 } { 4 ^{2018} } } \right)$ Cách 2:
Xét số được lập theo yêu cầu bài toán có $k$ chữ số $9$ ( $0\leq k\leq 2017$ )
+ Xếp $k$ chữ số $9$: $C_{2018} ^{k}$ cách
+ $2018-k$ vị trí còn lại chọn từ tập $\left\{ \begin{array}{l} 6;7;8 \end{array} \right\}$: $3 ^{2017-k}$ cách
+ $k=2018$ tương ứng có một số thõa mãn $\Rightarrow$ có $1+\sum \limits_{k=0} ^ 2017 { C_{2017} ^{k}.3 ^{2017-k} }=\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }$ số
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac { 4 ^{2018} +2 } { 3 }:4 ^{2018} =\frac{1}{3}\left( { 1+\frac { 2 } { 4 ^{2018} } } \right)$