Bài tự luận · Bài 35
Dạng 3. Vận dụng trong một số bài toán xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng của hình học không gian
Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 35
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$. Chứng minh rằng:
a) $BC\perp (SAH)$ và các đường thẳng $AH,BC,SK$ đồng quy;
b) $SB\perp (CHK)$ và $HK\perp (SBC)$.
a) $BC\perp (SAH)$ và các đường thẳng $AH,BC,SK$ đồng quy;
b) $SB\perp (CHK)$ và $HK\perp (SBC)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $BC\perp SA,BC\perp AH$ nên $BC\perp (SAH)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$, ta có: $BC\perp (SAM)$, suy ra $BC\perp SM$, mà $K$ là trực tâm của tam giác $SBC$ nên $SM$ đi qua $K$. Do đó, $SK,AH,BC$ đồng quy tại $M$.
b) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp CH$, mà $CH\perp AB$, suy ra $CH\perp (SAB)$. Do đó $CH\perp SB$, lại có $SB\perp CK$ nên
$SB\perp (CHK)$. Từ đó ta có $SB\perp HK$, tương tự, ta chứng minh được
$SC\perp (BHK)$, suy ra $SC\perp HK$. Do đó $HK\perp (SBC)$.