Bài tự luận · Bài 34
Dạng 3. Vận dụng trong một số bài toán xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng của hình học không gian
Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 34
(KNTT11) Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh rằng:
a) $BC\perp (OAH)$;
b) $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$;
c) $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$.
a) $BC\perp (OAH)$;
b) $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$;
c) $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $OA\perp OB,OA\perp OC$ nên $OA\perp (OBC)$, suy ra $OA\perp BC$.
Vì $OH\perp (ABC)$ nên $OH\perp BC$, suy ra $BC\perp (OAH)$.
b) Vì $BC\perp (OAH)$ nên $BC\perp AH$. Tương tự, $CA\perp BH$, do đó $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$, ta có: $OK\perp BC$ và $OA\perp OK$ nên $OK$ là đường cao của tam giác vuông $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác vuông $OAK$.
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $OBC$ và $OAK$, ta có:
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OK^2}$ và $\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$.
Từ đó suy ra: $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$.