Bài tập nâng cao · Bài 39
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 39
Xét tam giác $ABC$ thỏa mãn $\frac{a^3+c^3-b^3}{a+c-b}=b^2$ và $\sin A\cdot\sin C=\frac{3}{4}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\frac{a^3+c^3-b^3}{a+c-b}=b^2\Rightarrow a^3+c^3-b^3=(a+c)b^2-b^3$.
$\Rightarrow a^3+c^3=(a+c)b^2\Rightarrow a^2-ac+c^2=b^2$.
$\Rightarrow a^2-ac+c^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow\cos B=\frac{1}{2}\Rightarrow B=60^\circ$.
Do đó $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\sin^2B=\frac{3}{4}$ nên $\sin A\cdot\sin C=\frac{3}{4}=\sin^2B\Rightarrow\frac{a}{2R}\cdot\frac{c}{2R}=\left(\frac{b}{2R}\right)^2$.
$\Rightarrow ac=b^2\Rightarrow ac=a^2+c^2-2ac\cos B=a^2+c^2-ac$.
$\Rightarrow a^2-2ac+c^2=0\Rightarrow(a-c)^2=0\Rightarrow a=c$.
Vậy $ABC$ là tam giác cân và có góc $60^\circ$ nên là tam giác đều.
$\Rightarrow a^3+c^3=(a+c)b^2\Rightarrow a^2-ac+c^2=b^2$.
$\Rightarrow a^2-ac+c^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow\cos B=\frac{1}{2}\Rightarrow B=60^\circ$.
Do đó $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\sin^2B=\frac{3}{4}$ nên $\sin A\cdot\sin C=\frac{3}{4}=\sin^2B\Rightarrow\frac{a}{2R}\cdot\frac{c}{2R}=\left(\frac{b}{2R}\right)^2$.
$\Rightarrow ac=b^2\Rightarrow ac=a^2+c^2-2ac\cos B=a^2+c^2-ac$.
$\Rightarrow a^2-2ac+c^2=0\Rightarrow(a-c)^2=0\Rightarrow a=c$.
Vậy $ABC$ là tam giác cân và có góc $60^\circ$ nên là tam giác đều.