Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 38
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=60^\circ$, $a=10$, $r=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Chứng minh tam giác $ABC$ đều.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M, N, P$ lần lượt là các tiếp điểm của $BC, CA, AB$ với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $AP=AN=r\cdot\cot30^\circ=5$ và $BP+NC=BM+MC=a=10$.
Từ đó ta có $(b-AN)+(c-AP)=10$ hay $b+c=20$.
Theo định lý cô-sin ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos60^\circ$ hay $a^2=(b+c)^2-2bc-bc$.
Suy ra $bc=\frac{(b+c)^2-a^2}{3}=\frac{20^2-10^2}{3}=100$.
Mà $b+c=20$ nên $b, c$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-20x+100=0$.
Phương trình này có nghiệm kép $b=c=10$ nên $ABC$ là tam giác đều.
Ta có $AP=AN=r\cdot\cot30^\circ=5$ và $BP+NC=BM+MC=a=10$.
Từ đó ta có $(b-AN)+(c-AP)=10$ hay $b+c=20$.
Theo định lý cô-sin ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos60^\circ$ hay $a^2=(b+c)^2-2bc-bc$.
Suy ra $bc=\frac{(b+c)^2-a^2}{3}=\frac{20^2-10^2}{3}=100$.
Mà $b+c=20$ nên $b, c$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-20x+100=0$.
Phương trình này có nghiệm kép $b=c=10$ nên $ABC$ là tam giác đều.