Bài tập nâng cao · Bài 37
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 37
Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$. Chứng minh tam giác $ABC$ đều.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $a=b\cos C+c\cos B$, $b=c\cos A+a\cos C$, $c=a\cos B+b\cos A$ nên điều kiện đã cho tương đương với $(a-b)(\cos A-\cos B)+(b-c)(\cos B-\cos C)+(c-a)(\cos C-\cos A)=0$.
Ta chứng minh $(a-b)(\cos A-\cos B)\leq0$, dấu “=” khi $a=b$.
Xét $a=b$ thì bất đẳng thức đúng.
Xét $a>b$ thì $A>B\Rightarrow\cos A<\cos B\Rightarrow(a-b)(\cos A-\cos B)<0$.
Xét $a<b$ thì $A<B\Rightarrow\cos A>\cos B\Rightarrow(a-b)(\cos A-\cos B)<0$.
Tương tự thì $(b-c)(\cos B-\cos C)\leq0$ và $(c-a)(\cos C-\cos A)\leq0$.
Do đó dấu đẳng thức đồng thời xảy ra nên $a=b=c$. Vậy tam giác $ABC$ đều.
Ta chứng minh $(a-b)(\cos A-\cos B)\leq0$, dấu “=” khi $a=b$.
Xét $a=b$ thì bất đẳng thức đúng.
Xét $a>b$ thì $A>B\Rightarrow\cos A<\cos B\Rightarrow(a-b)(\cos A-\cos B)<0$.
Xét $a<b$ thì $A<B\Rightarrow\cos A>\cos B\Rightarrow(a-b)(\cos A-\cos B)<0$.
Tương tự thì $(b-c)(\cos B-\cos C)\leq0$ và $(c-a)(\cos C-\cos A)\leq0$.
Do đó dấu đẳng thức đồng thời xảy ra nên $a=b=c$. Vậy tam giác $ABC$ đều.