Bài tập nâng cao · Bài 36
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 36
Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $c^4-2(a^2+b^2)c^2+a^4+a^2b^2+b^4=0$. Chứng minh tam giác $ABC$ có góc $60^\circ$ hoặc $120^\circ$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét đẳng thức đã cho là phương trình bậc 2 theo $t=c^2$.
Ta có: $\Delta'=(a^2+b^2)^2-(a^4+a^2b^2+b^4)=a^2b^2$.
Do đó $c^2=a^2+b^2\pm ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2\pm ab$.
Suy ra $\cos C=\pm\frac{1}{2}\Rightarrow C=60^\circ$ hay $120^\circ$.
Ta có: $\Delta'=(a^2+b^2)^2-(a^4+a^2b^2+b^4)=a^2b^2$.
Do đó $c^2=a^2+b^2\pm ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2\pm ab$.
Suy ra $\cos C=\pm\frac{1}{2}\Rightarrow C=60^\circ$ hay $120^\circ$.