Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 14

Nhận thấy $d_1\parallel d_2$ và $d(d_1,d_2)=\frac{|18+2|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$. Vì $(C)$ tiếp xúc với hai đường thẳng $d_1,d_2$ nên bán kính đường tròn $(C)$ bằng $R=\frac12d(d_1,d_2)=\sqrt{10}$.
Gọi $I(a;b)$, ($a;b\in\mathbb Z$) là tâm đường tròn $(C)$.
Vì $(C)$ tiếp xúc với hai đường thẳng $d_1,d_2$ nên ta có
$R=d(I;d_1)=d(I;d_2)\Leftrightarrow\frac{|a-3b-2|}{\sqrt{10}}=\frac{|a-3b+18|}{\sqrt{10}}\Leftrightarrow|a-3b-2|=|a-3b+18|$
$\Leftrightarrow a-3b-2=-a+3b-18\Leftrightarrow2a-6b+16=0\Leftrightarrow a=3b-8$.
Do đó $I(3b-8;b)$.
Mặt khác $IA=R\Leftrightarrow(3b-8-4)^2+(b-2)^2=10\Leftrightarrow(3b-12)^2+(b-2)^2=10$
$\Leftrightarrow10b^2-76b+138=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}b=3\\b=\frac{23}{5}\quad(\text{loại})\end{array}\right.\Rightarrow a=1\Rightarrow I(1;3)$.
Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là $(x-1)^2+(y-3)^2=10$.