Bài tự luận · Bài 46
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 46
Ở một hội chợ, người ta tổ chức trò chơi có thưởng như sau: Có 3 quả bóng giống nhau được đánh số từ 1 đến 3 và 3 cái hộp giống nhau cũng được đánh số từ 1 đến 3. Người chơi bị bịt mắt và phải cho bóng vào hộp sao cho mỗi hộp có đúng 1 quả bóng. Úng với mỗi quả bóng cho vào hộp có cùng số với nó, người chơi sẽ được thưởng 2000 đồng. Trước mỗi lượt chơi, người chơi phải mua vé ở chỗ quản trò với giá 1000 đồng. Nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi hay quản trò có lợi hơn?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ X $ là số bóng được đặt vào hộp có cùng số với nó.
Lần lượt xét 6 hoán vị của $ 1;2;3 $ như bảng sau:
Hoán vị $ X $
1 2 3 3
1 3 2 1
2 1 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
3 2 1 1
Ta thấy $ X $ nhận 3 giá trị là $ 0;1;3 $ với xác suất lần lượt là $ \frac { 1 } { 3 };\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 6 } $.
Gọi $ Y $ là số tiền người chơi thu được. Ta có $ Y=2000X $. Bảng phân bố xác suất của $ Y $ là
$ Y $ 0 2000 6000
$ P $ $ \frac { 1 } { 3 } $ $ \frac { 1 } { 2 } $ $ \frac { 1 } { 6 } $
Kì vọng của $ Y $ là $ E(Y)=2000 $. Số tiền thưởng trung bình trong mỗi lần chơi là 2000 đồng. Chi phí một lần chơi là 1000 đồng. Vậy xét theo trung bình thì người chơi có lợi hơn.
Lần lượt xét 6 hoán vị của $ 1;2;3 $ như bảng sau:
Hoán vị $ X $
1 2 3 3
1 3 2 1
2 1 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
3 2 1 1
Ta thấy $ X $ nhận 3 giá trị là $ 0;1;3 $ với xác suất lần lượt là $ \frac { 1 } { 3 };\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 6 } $.
Gọi $ Y $ là số tiền người chơi thu được. Ta có $ Y=2000X $. Bảng phân bố xác suất của $ Y $ là
$ Y $ 0 2000 6000
$ P $ $ \frac { 1 } { 3 } $ $ \frac { 1 } { 2 } $ $ \frac { 1 } { 6 } $
Kì vọng của $ Y $ là $ E(Y)=2000 $. Số tiền thưởng trung bình trong mỗi lần chơi là 2000 đồng. Chi phí một lần chơi là 1000 đồng. Vậy xét theo trung bình thì người chơi có lợi hơn.