Bài tự luận · Bài 48
Dạng 3. Ứng dụng
Bài tự luận Dấu của tam thức bậc hai · Bài 48
(KNTT10) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $b^2x^2-\left( b^2+c^2-a^2 \right)x+c^2>0, \forall x\in\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
Biệt thức của tam thức bậc hai $f(x)=b^2x^2-\left( b^2+c^2-a^2 \right)x+c^2$ bằng $\Delta=\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2-4b^2c^2=\left( b^2+c^2-a^2-2bc \right)\left( b^2+c^2-a^2+2bc \right)=\left( (b-c)^2-a^2 \right)\left( (b+c)^2-a^2 \right)$.
Từ đó $\Delta=(a+b+c)(a+b-c)(b-c-a)(b+c-a)$. Vì $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba, suy ra $a+b-c>0$, $b+c-a>0$ và $b-c-a<0$, do đó $\Delta<0$. Theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có $f(x)=b^2x^2-\left( b^2+c^2-a^2 \right)x+c^2>0$ với mọi $x$.
Từ đó $\Delta=(a+b+c)(a+b-c)(b-c-a)(b+c-a)$. Vì $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba, suy ra $a+b-c>0$, $b+c-a>0$ và $b-c-a<0$, do đó $\Delta<0$. Theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có $f(x)=b^2x^2-\left( b^2+c^2-a^2 \right)x+c^2>0$ với mọi $x$.