Bài tự luận · Bài 54
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 54
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1)$ và $B(7;5)$.
a) Tìm toạ độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho $C$ cách đều $A$ và $B$.
b) Tìm toạ độ của điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất.
a) Tìm toạ độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho $C$ cách đều $A$ và $B$.
b) Tìm toạ độ của điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét điểm $C(c;0)\in Ox$. Khi đó $CA^2=(c-1)^2+1,CB^2=(c-7)^2+25$. Vậy $C$ cách đều $A,B$ khi và chỉ khi
$CA^2=CB^2\Leftrightarrow(c-1)^2-(c-7)^2=25-1\Leftrightarrow c=6$.
Vậy $C(6;0)$ là điểm cần tìm.
b) Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Khi đó $M(4;3)$. Với mọi điểm $D$ ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DM}$.
Suy ra vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ $2\overrightarrow{DM}$ có độ dài ngắn nhất.
Từ đó điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi $D$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Oy$, tức là $D(0;3)$.
$CA^2=CB^2\Leftrightarrow(c-1)^2-(c-7)^2=25-1\Leftrightarrow c=6$.
Vậy $C(6;0)$ là điểm cần tìm.
b) Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Khi đó $M(4;3)$. Với mọi điểm $D$ ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DM}$.
Suy ra vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ $2\overrightarrow{DM}$ có độ dài ngắn nhất.
Từ đó điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi $D$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Oy$, tức là $D(0;3)$.