(KNTT11) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Gọi $M'$ là giao điểm của đường thẳng $B'C'$ và mặt phẳng $\left( AMA' \right)$.
a) Chứng minh rằng $AM\parallel A'M'$.
b) Chứng minh rằng $M'$ là trung điểm của cạnh $B'C'$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên hai mặt phẳng $(ABC)$ và $\left( A'B'C' \right)$ song song với nhau. Giao tuyến của mặt phẳng $(AMA')$ với hai mặt phẳng $(ABC)$ và $\left( A'B'C' \right)$ lần lượt là $AM$ và $A'M'$ nên $AM\parallel A'M'$.
b) Vì các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song nên $AA'\parallel BB'$. Vì $AA'$ không nằm trong mặt phẳng $\left( BB'C'C \right)$ nên $AA'\parallel\left( BB'C'C \right)$. Mặt phẳng $\left( AMA' \right)$ chứa đường thẳng $AA'$ song song với mặt phẳng $\left( BB'C'C \right)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng này song song với $AA'$, tức là $MM'\parallel AA'$.
Tứ giác $BCC'B'$ là hình bình hành có $M$ là trung điểm của $BC$ và $MM'\parallel AA'$ nên $M'$ là trung điểm của $B'C'$.
