Bài tập nâng cao · Bài 43
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 43
Nhận dạng tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:
a) $a\sin A+b\sin B+c\sin C=h_a+h_b+h_c$.
b) $\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}(\cot^2A+\cot^2B)$.
a) $a\sin A+b\sin B+c\sin C=h_a+h_b+h_c$.
b) $\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}(\cot^2A+\cot^2B)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Áp dụng công thức diện tích ta có $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ah_a$ suy ra
$a\sin A+b\sin B+c\sin C=h_a+h_b+h_c$
$\Leftrightarrow a\cdot\frac{2S}{bc}+b\cdot\frac{2S}{ca}+c\cdot\frac{2S}{ab}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\Leftrightarrow a=b=c$.
Vậy tam giác $ABC$ đều.
b) Ta có
$\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}(\cot^2A+\cot^2B)$
$\Leftrightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B+\sin^2A+\sin^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}(\cot^2A+1+\cot^2B+1)$
$\Leftrightarrow\frac{2}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin^2A}+\frac{1}{\sin^2B}\right)$
$\Leftrightarrow(\sin^2A+\sin^2B)^2=4\sin^2A\sin^2B$
$\Leftrightarrow\sin^2A=\sin^2B\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2R}\right)^2=\left(\frac{b}{2R}\right)^2\Leftrightarrow a=b$.
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$.
$a\sin A+b\sin B+c\sin C=h_a+h_b+h_c$
$\Leftrightarrow a\cdot\frac{2S}{bc}+b\cdot\frac{2S}{ca}+c\cdot\frac{2S}{ab}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\Leftrightarrow a=b=c$.
Vậy tam giác $ABC$ đều.
b) Ta có
$\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}(\cot^2A+\cot^2B)$
$\Leftrightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B+\sin^2A+\sin^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}(\cot^2A+1+\cot^2B+1)$
$\Leftrightarrow\frac{2}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin^2A}+\frac{1}{\sin^2B}\right)$
$\Leftrightarrow(\sin^2A+\sin^2B)^2=4\sin^2A\sin^2B$
$\Leftrightarrow\sin^2A=\sin^2B\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2R}\right)^2=\left(\frac{b}{2R}\right)^2\Leftrightarrow a=b$.
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$.