Bài tập nâng cao · Bài 42
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 42
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}\Leftrightarrow\sin A(\cos B+\cos C)=\sin B+\sin C$.
$\Leftrightarrow\frac{a}{2R}\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b+c}{2R}$
$\Leftrightarrow b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=2b^2c+2c^2b$.
$\Leftrightarrow b^3+c^3+b^2c+bc^2-a^2b-a^2c=0$.
$\Leftrightarrow(b+c)(b^2+c^2)-a^2(b+c)=0\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2$.
Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
$\Leftrightarrow\frac{a}{2R}\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b+c}{2R}$
$\Leftrightarrow b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=2b^2c+2c^2b$.
$\Leftrightarrow b^3+c^3+b^2c+bc^2-a^2b-a^2c=0$.
$\Leftrightarrow(b+c)(b^2+c^2)-a^2(b+c)=0\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2$.
Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.