Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 19
Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi sản phẩm yêu cầu sử dụng ba máy. Máy đầu tiên có thể được sử dụng nhiều nhất là 70 giờ, máy thứ hai nhiều nhất là 40 giờ và máy thứ ba nhiều nhất là 90 giờ. Sản phẩm thứ nhất cần 2 giờ trên máy I, 1 giờ trên máy II và 1 giờ trên máy III; sản phẩm thứ hai cần 1 giờ cho mỗi máy I, II và 3 giờ trên máy III. Nếu lợi nhuận là 400 nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ nhất và 600 nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ hai, thì cần sản xuất bao nhiêu đơn vị mỗi sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm thứ nhất và số sản phẩm thứ hai của nhà máy.
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x\geq 0,y\geq 0\\2x+y\leq 70\\x+y\leq 40\\x+3y\leq 90\end{array}\right.$
Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền ngũ giác $OABCD$ như hình vẽ dưới đây với $O(0;0);A(0;30);B(15;25);C(30;10)$ và $D(35;0)$.
Lợi nhuận thu được là $F(x;y)=400x+600y$ (nghìn đồng).
Tính giá trị của biểu thức $F(x;y)$ tại các đỉnh của ngũ giác, ta được:
$F(0;0)=0;F(0;30)=18000;F(15;25)=21000;F(30;10)=18000;F(35;0)=14000$
Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 21000 nghìn đồng khi $x=15$ và $y=25$, tức là cần sản xuất 15 sản phẩm thứ nhất và 25 sản phẩm thứ hai.
