Bài tự luận · Bài 19
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 19
Nhân dịp Ngày Quốc tế phụ nữ $8-3$, câu lạc bộ mĩ thuật của An muốn tổ chức kinh doanh thiệp chúc mừng ngày $8-3$ để gây quỹ sinh hoạt cho câu lạc bộ. Mỗi tấm thiệp mua về với giá 8 nghìn đồng. Các bạn trong câu lạc bộ sẽ sáng tác thêm nội dung của thiệp (vẽ thêm hình ảnh người, hoa cỏ, lời chúc,...) và sau đó bán lại. Với mức giá bán 20 nghìn đồng cho 1 tấm thiệp, câu lạc bộ có thể bán được 500 chiếc. Nếu giảm giá bán 1 nghìn đồng mỗi tấm thiệp thì số lượng hàng bán ra tăng thêm 50 chiếc. Vậy câu lạc bộ nên để giá bán như thế nào để gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá cho mỗi tấm thiệp, $0\leq x\leq20$.
Số lượng tấm thiệp bán ra là: $500+50x$ (chiếc).
Hàm chi phí cho $500+50x$ tấm thiệp là $(500+50x)\cdot8$ (nghìn đồng).
Hàm doanh thu cho $500+50x$ tấm thiệp là $(500+50x)\cdot(20-x)$ (nghìn đồng).
Khi đó lợi nhuận thu được là
$P(x)=(20-x)(500+50x)-8\cdot(500+50x)=(12-x)(500+50x)=6000+100x-50x^2$ (nghìn đồng).
Để tối đa hoá lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm $P(x)$ với $0\leq x\leq20$.
Ta có $P'(x)=100-100x=0$ khi $x=1$. Khi đó $P(1)=6050$ (nghìn đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi $x=1$. Tức là mỗi tấm thiệp nên giảm giá 1 nghìn đồng. Vậy giá bán mới nên là 19 nghìn đồng thì câu lạc bộ sẽ gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất.
Số lượng tấm thiệp bán ra là: $500+50x$ (chiếc).
Hàm chi phí cho $500+50x$ tấm thiệp là $(500+50x)\cdot8$ (nghìn đồng).
Hàm doanh thu cho $500+50x$ tấm thiệp là $(500+50x)\cdot(20-x)$ (nghìn đồng).
Khi đó lợi nhuận thu được là
$P(x)=(20-x)(500+50x)-8\cdot(500+50x)=(12-x)(500+50x)=6000+100x-50x^2$ (nghìn đồng).
Để tối đa hoá lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm $P(x)$ với $0\leq x\leq20$.
Ta có $P'(x)=100-100x=0$ khi $x=1$. Khi đó $P(1)=6050$ (nghìn đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi $x=1$. Tức là mỗi tấm thiệp nên giảm giá 1 nghìn đồng. Vậy giá bán mới nên là 19 nghìn đồng thì câu lạc bộ sẽ gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất.