Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Cấp số cộng · Bài 5
Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ $20$ và tổng của $20$ số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_5=19 \\ u_9=35 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_2-u_3+u_5=10 \\ u_4+u_6=26 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_3+u_5=14 \\ S_{12}=129 \end{array} \right.$
d) $\left\{ \begin{array}{l} u_6=8 \\ u_2^{2}+u_4^{2}=16 \end{array} \right.$
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_5=19 \\ u_9=35 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_2-u_3+u_5=10 \\ u_4+u_6=26 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_3+u_5=14 \\ S_{12}=129 \end{array} \right.$
d) $\left\{ \begin{array}{l} u_6=8 \\ u_2^{2}+u_4^{2}=16 \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_5=19 \\ u_9=35 \end{array} \right. \left( 1 \right)$. Áp dụng công thức $u_n=u_1+\left( n-1 \right)d$, ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+4d=19 \\ u_1+8d=35 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ d=4 \end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=3$, công sai $d=4$.
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=3+19.4=79$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.3+19.4 \right)=820$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_2-u_3+u_5=10 \\ u_4+u_6=26 \end{array} \right. \left( 1 \right)$. Ta cũng áp dụng công thức $u_n=u_1+\left( n-1 \right)d$:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+d-\left( u_1+2d \right)+u_1+4d=10 \\ u_1+3d+u_1+5d=26 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+3d=10 \\ 2u_1+8d=26 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ d=3. \end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=1$, công sai $d=3$.
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=1+19.3=58$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.1+19.3 \right)=590$
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_3+u_5=14 \\ S_{12}=129 \end{array} \right. \left( 1 \right)$. Áp dụng công thức $u_n=u_1+\left( n-1 \right)d$, $S_n=\frac{n\left[ 2u_1+(n-1)d \right]}{2}$ Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+2d+u_1+4d=14 \\ 6\left( u_1+u_{12} \right)=129 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u_1+6d=14 \\ 12u_1+66d=129 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=\frac{5}{2} \\ d=\frac{3}{2}. \end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=\frac{5}{2}$, công sai $d=\frac{3}{2}$.
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2}=31$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2} \right)=335$
d) $\left\{ \begin{array}{l} u_6=8 \\ u_2^{2}+u_4^{2}=16 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+5d=8 \\ \left( u_1+d \right)^{2}+\left( u_1+3d \right)^{2}=16 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=8-5d \\ \left( 8-5d+d \right)^{2}+\left( 8-5d+3d \right)^{2}=16 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=8-5d \\ \left( 8-4d \right)^{2}+\left( 8-2d \right)^{2}=16 \left( * \right) \end{array} \right.$
Giải $\left( * \right)$:$20d^{2}-96d+112=0\Leftrightarrow d=\frac{14}{5} \vee d=2$.
Với $d=\frac{14}{5}\Rightarrow u_1=-6$
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=-6+19.\frac{14}{5}=\frac{236}{5}$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-6)+19.\frac{14}{5} \right)=412$
Với $d=2\Rightarrow u_1=-2$
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=-2+19.2=36$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-2)+19.2 \right)=340$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=3$, công sai $d=4$.
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=3+19.4=79$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.3+19.4 \right)=820$
b) $\left\{ \begin{array}{l} u_2-u_3+u_5=10 \\ u_4+u_6=26 \end{array} \right. \left( 1 \right)$. Ta cũng áp dụng công thức $u_n=u_1+\left( n-1 \right)d$:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+d-\left( u_1+2d \right)+u_1+4d=10 \\ u_1+3d+u_1+5d=26 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+3d=10 \\ 2u_1+8d=26 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ d=3. \end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=1$, công sai $d=3$.
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=1+19.3=58$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.1+19.3 \right)=590$
c) $\left\{ \begin{array}{l} u_3+u_5=14 \\ S_{12}=129 \end{array} \right. \left( 1 \right)$. Áp dụng công thức $u_n=u_1+\left( n-1 \right)d$, $S_n=\frac{n\left[ 2u_1+(n-1)d \right]}{2}$ Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+2d+u_1+4d=14 \\ 6\left( u_1+u_{12} \right)=129 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u_1+6d=14 \\ 12u_1+66d=129 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=\frac{5}{2} \\ d=\frac{3}{2}. \end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=\frac{5}{2}$, công sai $d=\frac{3}{2}$.
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2}=31$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2} \right)=335$
d) $\left\{ \begin{array}{l} u_6=8 \\ u_2^{2}+u_4^{2}=16 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+5d=8 \\ \left( u_1+d \right)^{2}+\left( u_1+3d \right)^{2}=16 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=8-5d \\ \left( 8-5d+d \right)^{2}+\left( 8-5d+3d \right)^{2}=16 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1=8-5d \\ \left( 8-4d \right)^{2}+\left( 8-2d \right)^{2}=16 \left( * \right) \end{array} \right.$
Giải $\left( * \right)$:$20d^{2}-96d+112=0\Leftrightarrow d=\frac{14}{5} \vee d=2$.
Với $d=\frac{14}{5}\Rightarrow u_1=-6$
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=-6+19.\frac{14}{5}=\frac{236}{5}$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-6)+19.\frac{14}{5} \right)=412$
Với $d=2\Rightarrow u_1=-2$
Số hạng thứ $20$: $u_{20}=u_1+19d=-2+19.2=36$.
Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left( 2u_1+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-2)+19.2 \right)=340$