Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 2
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc $A$ là: $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$. Biết rằng điểm $M\left( 0;\,5;\,3 \right)$ thuộc đường thẳng $AB$ và điểm $N\left( 1;1;0 \right)$ thuộc đường thẳng $AC$. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình tham số của đường phân giác trong góc $A$: $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=6-4t \\ z=6-3t \end{array} \right.$. $\left( d \right)$
Gọi $D$ là điểm đối xứng với $M$ qua $\left( d \right)$. Khi đó $D\in AC$$\Rightarrow$ đường thẳng $AC$ có một vectơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { ND }$.
* Ta xác định điểm $D$.
Gọi $K$ là giao điểm $MD$ với $\left( d \right)$. Ta có $K\left( t;\,6-4t;\,6-3t \right)$; $\overset\rightarrow { MK }=\left( t;\,1-4t;\,3-3t \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { MK }\perp u_{d}$ với $u_{d}=\left( 1;\,-4;\,-3 \right)$ nên $t-4\left( 1-4t \right)-3\left( 3-3t \right)=0$$\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$.
$K\left( \frac{1}{2};\,4;\frac{9}{2} \right)$. $K$ là trung điểm $MD$ nên $\left\{ \begin{array}{l} x_{D}=2x_{K}-x_{M}\\ y_{D}=2y_{K}-y_{M}\\ z_{D}=2z_{K}-z_{M}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{D}=1 \\ y_{D}=3 \\ z_{D}=6 \end{array} \right.$ hay $D\left( 1;\,3;\,6 \right)$.
Một vectơ chỉ phương của $AC$ là $\overset\rightarrow { DN }=\left( 0;\,-2;\,-6 \right)$. Hay $u=\left( 0;\,1;\,3 \right)$ là vectơ chỉ phương.
Gọi $D$ là điểm đối xứng với $M$ qua $\left( d \right)$. Khi đó $D\in AC$$\Rightarrow$ đường thẳng $AC$ có một vectơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { ND }$.
* Ta xác định điểm $D$.
Gọi $K$ là giao điểm $MD$ với $\left( d \right)$. Ta có $K\left( t;\,6-4t;\,6-3t \right)$; $\overset\rightarrow { MK }=\left( t;\,1-4t;\,3-3t \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { MK }\perp u_{d}$ với $u_{d}=\left( 1;\,-4;\,-3 \right)$ nên $t-4\left( 1-4t \right)-3\left( 3-3t \right)=0$$\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$.
$K\left( \frac{1}{2};\,4;\frac{9}{2} \right)$. $K$ là trung điểm $MD$ nên $\left\{ \begin{array}{l} x_{D}=2x_{K}-x_{M}\\ y_{D}=2y_{K}-y_{M}\\ z_{D}=2z_{K}-z_{M}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{D}=1 \\ y_{D}=3 \\ z_{D}=6 \end{array} \right.$ hay $D\left( 1;\,3;\,6 \right)$.
Một vectơ chỉ phương của $AC$ là $\overset\rightarrow { DN }=\left( 0;\,-2;\,-6 \right)$. Hay $u=\left( 0;\,1;\,3 \right)$ là vectơ chỉ phương.