Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 3
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( 2;3;3 \right)$, phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$ là $\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$, phương trình đường phân giác trong của góc $C$ là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}$. Đường thẳng $AB$ có một véc-tơ chỉ phương là
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình tham số của đường phân giác trong góc $C$ là $CD:\left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=4-t \\ z=2-t \end{array} \right.$.
Gọi $C=\left( 2+2t;4-t;2-t \right)$, suy ra tọa độ trung điểm $M$ của $AC$ là $M=\left( 2+t;\frac{7-t}{2};\frac{5-t}{2} \right)$. Vì $M\in BM$ nên:
$\frac{\left( 2+t \right)-3}{-1}=\frac{\left( \frac { 7-t}{2} \right)-3 } { 2 }=\frac{\left( \frac { 5-t}{2} \right)-2 } { -1 }$$\Leftrightarrow \frac{t-1}{-1}=\frac{1-t}{4}=\frac{1-t}{-2}\Rightarrow t=1$.
Do đó $C=\left( 4;3;1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc $CD$ là
$2.\left( x-2 \right)-1.\left( y-3 \right)-1.\left( z-3 \right)=0$ hay $2x-y-z+2=0$.
Tọa độ giao điểm $H$ của $\left( P \right)$ và $CD$ là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ
$\left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2x-y-z+2=0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2\left( 2+2t \right)-\left( 4-t \right)-\left( 2-t \right)+2=0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=4 \\ z=2 \\ t=0 \end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( 2;4;2 \right)$.
Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường phân giác $CD$, suy ra $H$ là trung điểm $AA'$, bởi vậy:
$\left\{ \begin{array}{l} x_{ A' } =2x_{H}-x_{A}=2.2-2=2 \\ y_{ A' } =2y_{H}-y_{A}=2.4-3=5 \\ z_{ A' } =2z_{H}-z_{A}=2.2-3=1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow A'\left( 2;5;1 \right)$.
Do $A'\in BC$ nên đường thẳng $BC$ có véc-tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { CA' }=\left( -2;2;0 \right)=2\left( -1;1;0 \right)$, nên phương trình đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=4-t \\ y=3+t \\ z=1 \end{array} \right.$.
Vì $B=BM∩BC$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ
$\left\{ \begin{array}{l} x=4-t \\ y=3+t \\ z=1 \\ \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=5 \\ z=1 \\ t=2 \end{array} \right.$$\Rightarrow B\left( 2;5;1 \right)≡A'$.
Đường thẳng $AB$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { AB }=\left( 0;2;-2 \right)=2\left( 0;1;-1 \right)$; hay $\overset\rightarrow { u }_{4}=\left( 0;1;-1 \right)$ là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng $AB$.
Gọi $C=\left( 2+2t;4-t;2-t \right)$, suy ra tọa độ trung điểm $M$ của $AC$ là $M=\left( 2+t;\frac{7-t}{2};\frac{5-t}{2} \right)$. Vì $M\in BM$ nên:
$\frac{\left( 2+t \right)-3}{-1}=\frac{\left( \frac { 7-t}{2} \right)-3 } { 2 }=\frac{\left( \frac { 5-t}{2} \right)-2 } { -1 }$$\Leftrightarrow \frac{t-1}{-1}=\frac{1-t}{4}=\frac{1-t}{-2}\Rightarrow t=1$.
Do đó $C=\left( 4;3;1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc $CD$ là
$2.\left( x-2 \right)-1.\left( y-3 \right)-1.\left( z-3 \right)=0$ hay $2x-y-z+2=0$.
Tọa độ giao điểm $H$ của $\left( P \right)$ và $CD$ là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ
$\left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2x-y-z+2=0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2\left( 2+2t \right)-\left( 4-t \right)-\left( 2-t \right)+2=0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=4 \\ z=2 \\ t=0 \end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( 2;4;2 \right)$.
Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường phân giác $CD$, suy ra $H$ là trung điểm $AA'$, bởi vậy:
$\left\{ \begin{array}{l} x_{ A' } =2x_{H}-x_{A}=2.2-2=2 \\ y_{ A' } =2y_{H}-y_{A}=2.4-3=5 \\ z_{ A' } =2z_{H}-z_{A}=2.2-3=1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow A'\left( 2;5;1 \right)$.
Do $A'\in BC$ nên đường thẳng $BC$ có véc-tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { CA' }=\left( -2;2;0 \right)=2\left( -1;1;0 \right)$, nên phương trình đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=4-t \\ y=3+t \\ z=1 \end{array} \right.$.
Vì $B=BM∩BC$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ
$\left\{ \begin{array}{l} x=4-t \\ y=3+t \\ z=1 \\ \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=5 \\ z=1 \\ t=2 \end{array} \right.$$\Rightarrow B\left( 2;5;1 \right)≡A'$.
Đường thẳng $AB$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { AB }=\left( 0;2;-2 \right)=2\left( 0;1;-1 \right)$; hay $\overset\rightarrow { u }_{4}=\left( 0;1;-1 \right)$ là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng $AB$.