Bài tự luận · Bài 7
Dạng 1. Tính số đo của góc nhị diện Phuơng pháp: Xác định vị trí của góc phẳng nhị diện (nằm trên mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện) rồi tính số đo của góc phẳng nhị diện đó.
Bài tự luận Góc nhị diện · Bài 7
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, biết $(SAB)\perp(ABCD)$, $(SAD)\perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính côsin của số đo góc nhị diện $[S,BD,C]$ và góc nhị diện $[B,SC,D]$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $SO\perp BD,CO\perp BD$ nên góc nhị diện $[S,BD,C]$ bằng $\widehat{SOC}$. Vì tam giác $SAO$ vuông tại $A$ nên $SO=\sqrt{SA^{2}+AO^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và
$\cos\widehat{SOC}=-\cos\widehat{SOA}=-\frac{OA}{SO}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Kẻ $BM\perp SC$ tại $M$ thì $DM\perp SC$ nên $[B,SC,D]=\widehat{BMD}$.
Ta có $BC\perp(SAB)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $B$, tính được $SB=a\sqrt{2}$, $SC=a\sqrt{3}$ và $DM=BM=\frac{SB\cdot BC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $BDM$, ta có: $\cos\widehat{BMD}=\frac{BM^{2}+DM^{2}-BD^{2}}{2\cdot BM\cdot DM}=-\frac{1}{2}$.