Có hai học sinh lớp $ A, $ ba học sinh lớp $ B $ và bốn học sinh lớp $ C $ xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp $ A $ không có học sinh nào lớp $ B. $ Có $ \overset\rightharpoonup { abc152 } $ cách xếp hàng như trên. Vậy $ a+b+c $là bao nhiêu?

Xét các trường hợp sau : TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có $ 2!.8! $ cách. TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 1 }.7! $ cách. TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 2 }.6! $ cách. TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 3 }.5! $ cách. TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 4 }.4! $ cách. Theo quy tắc cộng có $ 2!\left ( { 8!+A_{ 4 } ^{ 1 }7!+A_{ 4 } ^{ 2 }6!+A_{ 4 } ^{ 3 }5!+A_{ 4 } ^{ 4 }4! } \right )=145152 $ cách. Vậy $ a+b+c=1+4+5=10 $