Bài tự luận · Bài 14
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 14
Anh Châu tham gia quảng cáo cho một loại sản phẩm. Xác suất 1 lần quảng cáo thành công (tức là bán được sản phẩm sau lần quảng cáo đó) của anh Châu là $ \frac { 1 } { 3 } $.
Anh Châu thực hiện 12 lần quảng cáo liên tiếp một cách độc lập. Gọi $ X $ là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó.
a) Tính xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công.
b) Tìm số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Tính xác suất lớn nhất đó.
Anh Châu thực hiện 12 lần quảng cáo liên tiếp một cách độc lập. Gọi $ X $ là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó.
a) Tính xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công.
b) Tìm số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Tính xác suất lớn nhất đó.
Xem lời giải
Lời giải
$ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số $ n=12 $ và $ p=\frac { 1 } { 3 } $.
a)
$ P(3\leq X\leq 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\ =C_{ 12 } ^{ 3 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 3 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 9 } +C_{ 12 } ^{ 4 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 8 } +C_{ 12 } ^{ 5 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 5 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 7 } \approx 0,64 $
b) Gọi $ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số $ n $ và $ p $. Giả sử $ k $ là số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Khi đó, $ P(X=k)\geq P(X=m) $với mọi $ 0\leq m\leq n{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Ta có: $ P(X=k)\geq P(X=m)\Leftrightarrow C_{ n } ^{ k }p ^ { k } (1-p) ^ { n-k } \geq C_{ n } ^{ m }p ^ { m } (1-p) ^ { n-m } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { k!(n-k)! }p ^ { k } (1-p) ^ { n-k } \geq \frac { 1 } { m!(n-m)! }p ^ { m } (1-p) ^ { n-m } \\ \Leftrightarrow \frac { m!(n-m)! } { k!(n-k)! }p ^ { k-m } (1-p) ^ { m-k } \geq 1 $
- Chọn $ m=k-1 $ ta có: $ \frac { (k-1)!(n-k+1)! } { k!(n-k)! }p ^ { k-k+1 } (1-p) ^ { k-1-k } \geq 1 $
$ \Rightarrow \frac { n-k+1 } { k }p\geq 1-p\Leftrightarrow k\leq np+p $
- Chọn $ m=k+1 $ ta có: $ \frac { (k+1)!(n-k-1)! } { k!(n-k)! }p ^ { k-k-1 } (1-p) ^ { k+1-k } \geq 1 $
$ \Rightarrow \frac { k+1 } { n-k }(1-p)\geq p\Leftrightarrow k\geq np+p-1 $
Vậy $ np+p-1\leq k\leq np+p $.
Áp dụng cho bài toán ta có: $ \frac { 10 } { 3 }\leq k\leq \frac { 13 } { 3 } $, suy ra $ k=4 $. Vậy số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất là 4 và $ P(X=4)=C_{ 12 } ^{ 4 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 8 } \approx 0,24 $.
a)
$ P(3\leq X\leq 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\ =C_{ 12 } ^{ 3 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 3 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 9 } +C_{ 12 } ^{ 4 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 8 } +C_{ 12 } ^{ 5 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 5 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 7 } \approx 0,64 $
b) Gọi $ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số $ n $ và $ p $. Giả sử $ k $ là số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất. Khi đó, $ P(X=k)\geq P(X=m) $với mọi $ 0\leq m\leq n{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Ta có: $ P(X=k)\geq P(X=m)\Leftrightarrow C_{ n } ^{ k }p ^ { k } (1-p) ^ { n-k } \geq C_{ n } ^{ m }p ^ { m } (1-p) ^ { n-m } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { k!(n-k)! }p ^ { k } (1-p) ^ { n-k } \geq \frac { 1 } { m!(n-m)! }p ^ { m } (1-p) ^ { n-m } \\ \Leftrightarrow \frac { m!(n-m)! } { k!(n-k)! }p ^ { k-m } (1-p) ^ { m-k } \geq 1 $
- Chọn $ m=k-1 $ ta có: $ \frac { (k-1)!(n-k+1)! } { k!(n-k)! }p ^ { k-k+1 } (1-p) ^ { k-1-k } \geq 1 $
$ \Rightarrow \frac { n-k+1 } { k }p\geq 1-p\Leftrightarrow k\leq np+p $
- Chọn $ m=k+1 $ ta có: $ \frac { (k+1)!(n-k-1)! } { k!(n-k)! }p ^ { k-k-1 } (1-p) ^ { k+1-k } \geq 1 $
$ \Rightarrow \frac { k+1 } { n-k }(1-p)\geq p\Leftrightarrow k\geq np+p-1 $
Vậy $ np+p-1\leq k\leq np+p $.
Áp dụng cho bài toán ta có: $ \frac { 10 } { 3 }\leq k\leq \frac { 13 } { 3 } $, suy ra $ k=4 $. Vậy số lần quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất là 4 và $ P(X=4)=C_{ 12 } ^{ 4 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } \cdot \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 8 } \approx 0,24 $.