Bài tập nâng cao Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn · Bài 7
Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, 2 kg thịt ba chỉ, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh, để gói một cái bánh ống cần 0,6 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt và 0,15 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ $(x\ge0,y\ge0)$ lần lượt là số bánh chưng và bánh ống gói được.
Điểm thưởng là $L(x;y)=5x+7y$.
Số kg gạo nếp cần dùng là $0,4x+0,6y$.
Số kg thịt ba chỉ cần dùng là $0,05x+0,075y$.
Số kg đậu xanh cần dùng là $0,1x+0,15y$.
Ta có hệ bất phương trình $\begin{cases}0,4x+0,6y\le20\\0,05x+0,075y\le2\\0,1x+0,15y\le5\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x+3y\le100\\2x+3y\le80\\2x+3y\le100\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x+3y\le80\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}\quad(*)$.
Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$, tìm nghiệm $(x_0;y_0)$ sao cho $L(x;y)=5x+7y$ lớn nhất.
Miền nghiệm của $(*)$ là tam giác $OAB$ như hình vẽ với $O(0;0)$, $A(40;0)$, $B\left(0;\frac{80}{3}\right)$.
Ta có $L(0;0)=0$, $L(40;0)=200$, $L\left(0;\frac{80}{3}\right)=\frac{560}{3}$.
Suy ra giá trị lớn nhất của $L(x;y)$ bằng 200 khi $(x;y)=(40;0)$.
Vậy cần gói 40 cái bánh chưng để số điểm thưởng đạt được cao nhất.
